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La Coctelera

LA ELIPSE

Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan elipses, se pide dibujarlas determinando además los vértices y los focos: 

a. 16x2 + 25y2 = 100 

b. 9x2 + 4y2 = 36 

c. 4x2 + y2 = 16 

d. x2 + 9y2 = 18 

e. 4y2 + x2 = 8 

f. 4x2 + 9y2 = 36 

8. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas. Trace su gráfica. 
Centro en (0, 0); foco en (3, 0); vértice en (5, 0). 

Centro en (0, 0); foco en (-1, 0); vértice en (3, 0). 

Centro en (0, 0); foco en (0, 1); vértice en (0, -2). 

Focos en (± 2, 0); longitud del eje mayor 6. 

Focos en (0, ± 3); las intersecciones con el eje x son ± 2. 

Centro en (0, 0), vértice en (0, 4); b = 1. 

Vértices en (± 5, 0); c = 2. 

Centro en (2, -2), vértice en (7, -2); focos en (4, -2). 

Focos en (5, 1) y (-1, 1); longitud del eje mayor es 8. 

Centro en (1, 2); focos en (1, 4); pasa por el punto (2, 2). 

 

  • 1. Encontrar las coordenadas del centro, focos, eje menor y vértices, longitud eje mayor y menor, distancia focal y graficar la ecuación: x2 + 4 y2 +6x - 16y + 9=0

 

  • 2. Encontrar las coordenadas del centro, focos, eje menor y vértices, longitud eje mayor y menor, distancia focal y graficar la ecuación: 25x2 + 9 y2 - 200x +90y + 400=0

 

  • 3. Encontrar las coordenadas del centro, focos, eje menor y vértices, longitud eje mayor y menor, distancia focal y graficar la ecuación: 4x2 + y2 + 8x - 16y + 64=0

 

  • 4. Encontrar las coordenadas del centro, focos, eje menor y vértices, longitud eje mayor y menor, distancia focal y graficar la ecuación: 2x2 + 5y2 + 8x - 20y + 18 =0

ACTIVIDAD .

 

LA PARÁBOLA

Contenido  

.INVESTIGAR  ACERCA  DE  LA  PARÁBOLA

 

                                                         EJERCICIOS

Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas: 

a. F(3, 0), V(2, 0) 

b. F(0, 0), V(-1, 0) 

c. F(2, 3), directriz: x = 6 

d. V(-1, 4), eje focal vertical, y la parábola pasa por el punto (2, 2) 

e. V(4, 4), eje focal horizontal, y la parábola pasa por el punto (2, 2) 

f. Eje focal vertical, y la parábola pasa por los puntos A(-8, 5), B(4, 8) y C(16, -7) 

2. Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas. Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, y la ecuación de la tangente en el vértice. Aplica  completación de cuadrados

a. y2 + 4x - 4y - 20 = 0 

b. y2 - 8x + 4y + 12 = 0 

c. y2 + 4x + 4y = 0 

d. 4y2 + 24x + 12y - 39 = 0 

e. 8y2 + 22x - 24y - 128 = 0 

f. x2 - 6x - 12y - 15 = 0 

g. x2 + 4x + 4y - 4 = 0 

h. x2 - 8x + 3y + 10 = 0 

i. 6x2 - 8x + 6y + 1 = 0 

j. 5x2 - 40x + 4y + 84 = 0 

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secciones cónicas . LA CIRCUNFERENCIA

    INVESTIGAR

.Etimología 2 Elementos de la circunferencia 3 La circunferencia y un punto: posiciones relativas 4 La circunferencia y la recta: posiciones relativas 5 Relación entre dos circunferencias: posiciones relativas 6 Ángulos respecto de una circunferencia 7 Longitud de la circunferencia 8 Ecuaciones de la circunferencia 8.1 Ecuación en coordenadas cartesianas 8.2 Ecuación vectorial de la circunferencia 8.3 Ecuación en coordenadas polares 8.4 Ecuación en coordenadas paramétricas 9 Área del círculo delimitado

Buenos días a todos mís estudiantes de este nuevo semestre . En este espacio harán los comentarios de la investigación asignada

13 EL PLANO CARTESIANO

La necesidad de orientarse condujo a los seres humanos,

desde la antig¨uedad m´as lejana, a confeccionar

mapas o cartas geogr´aficas y a relacionar los puntos

de una superficie mediante n´umeros.

Para fijar una figura en el espacio o en un plano hace

falta relacionarla con un sistema de referencia. En

el actual sistema geogr´afico, cualquier lugar del mundo

queda determinado con precisi´on si se conocen

su latitud (a) y su longitud (b), es decir, si se tienen su

distancia a al norte o al sur del ecuador, y su distancia

 

b

al este o al oeste del meridiano de Greenwich.

a

b P

 

 

No basta con tener uno s´olo de estos datos, ya que

hay lugares que tienen la misma latitud a. Obs´ervese

la siguiente figura:

REN´E DESCARTES (1596-1650)

Considerado el padre de la filosof´ıa moderna, Ren´e Descartes fue un

pensador completo, que abord´o tambi´en el estudio de las ciencias.

En f´ısica, sin saber que Galileo ya lo hab´ıa hecho, resolvi´o el

problema de las leyes que rigen el movimiento de ca´ıda de los

cuerpos. En matem´aticas, fue el creador de la geometr´ıa anal´ıtica,

para lo que estableci´o el sistema de coordenadas ortogonales,

conocido en la actualidad como sistema cartesiano. Asimismo,

contribuy´o a simplificar y normalizar la nomenclatura algebraica.

Tras escribir las Reglas para la direcci´on del esp´ıritu (1628-1629)

y El mundo o Tratado de la luz (1633), en el que se incluy´o su

Tratado del hombre, public´o su obra de mayor relieve, el Discurso

del m´etodo (1637), que serv´ıa de pr´ologo a la edici´on conjunta de

tres ensayos de´ındole cient´ıfica: la Di´optrica, la Geometr´ıa y los

Meteoros. En 1641 escribi´o Meditaciones metaf´ısicas, y en 1644, los

Principios de la filosof´ıa. Por ´ultimo, en 1649 se public´o su obra

Pasiones del alma.

En el sistema de

pensamiento de

Descartes, la filosof´ıa

engloba a todas las

ciencias. Represent´o el

conocimiento como un

´arbol cuyas ra´ıces son la

metaf´ısica y cuyo tronco

es la f´ısica, del que salen

tres ramas principales

-la medicina, la

mec´anica y la´etica- de

las que derivan todas las

otras ciencias.

Consideraba que hab´ıa tres sustancias: una infinita y

autosubsistente, es decir, que existe por s´ı misma, a la que

denomin´o res infinita e identific´o con Dios, y dos sustancias finitas,

que dependen para su existencia de la res infinita, a las que

llam´o res cogitans o sustancia pensante y res extensa o sustancia

corp´orea, cuya principal caracter´ıstica es la extensi´on en el espacio.

El pensamiento filos´ofico de Descartes se fundamenta en un m´etodo

que consiste en tomar un punto de partida indudable sobre el que

construir todo el conocimiento. En matem´aticas cre´o la geometr´ıa

anal´ıtica seg´un el mismo principio, a partir de un sistema de

coordenadas formado por dos rectas que se cortan en un punto,

denominado origen.

Descartes fue el inventor de la notaci

´on algebraica moderna, en la cual las

constantes est´an representadas por las

primeras letras del alfabeto, a, b, c, y las

variables o inc´ognitas por las´ultimas, es

decir, x, y, z.

a a a

 

 

Todos los puntos del globo terrestre que est´an situados

en el mismo paralelo, a una distancia a del

ecuador tienen la misma latitud. Lo mismo sucede

con s´olo la longitud.

En matem´aticas, el sistema de referencia se forma

sobre un plano con dos rectas perpendiculares que se

intersecan en un punto, que se denota con la letra O.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Tal vez, esta sea una de las ecuaciones diferenciales de mayor importancia, pues muchas de las aplicaciones que trataremos se modelan por medio de una ecuación de este tipo.

Definición [Ecuación lineal]
Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma

 

\begin{displaymath} \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \end{displaymath}

 

donde $P(x)$$Q(x)$ son funciones reales, se llama ecuación diferencial lineal.

 

Observación: una ecuación diferencial lineal de orden $n$ tiene la forma

 

\begin{displaymath} a_{n}(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x) y^{\prime} + a_0(x) y = f(x) \end{displaymath}

 

donde los coeficientes $a_i(x)$ son funciones reales y $a_n(x) \neq 0$. Note que cuando $n=1$ tenemos que

 

\begin{displaymath} a_1(x) y^{\prime} + a_0(x)y = f(x) \end{displaymath}

 

y al dividir por $a_1(x)$

 

\begin{displaymath} y^{\prime} + \frac{a_0(x)}{a_1(x)} y = \frac{f(x)}{a_1(x)} \end{displaymath}

 

La cual tiene la forma

 

\begin{displaymath} y^{\prime} + P(x)y = Q(x) \end{displaymath}

 

 

donde $P(x) = \frac{a_0(x)}{a_1(x)} $$Q(x) = \frac{f(x)}{a_1(x)} $.

Teorema

La solución general de la ecuación diferencial de primer orden

 

(1.10)

 

está dada por

 

\begin{displaymath} y = e^{- \int P(x) dx} \left(\int Q(x) e^{\int P(x) dx } dx \right) \end{displaymath}

 

 

Demostración
Reescribiendo la ecuación 1.10 como

 

\begin{displaymath} \left(P(x) y - Q(x) \right) dx - dy = 0 \end{displaymath}

 

podemos comprobar que $e^{\int P(x) dx} $ es un factor integrante. Multiplicando la ecuación 1.10 por este factor tenemos que

 

 

\begin{displaymath} e^{\int P(x) dx } \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \end{displaymath}

 

de donde

 

\begin{displaymath} \frac{d \left(y e^{\int P(x) dx } \right) }{dx} = Q(x) e^{\int P(x) dx} \end{displaymath}

 

e integrando respecto con $x$

 

 

\begin{displaymath} y e^{\int P(x) dx} = \int \left( Q(x) e^{\int P(x) dx} \right) dx \end{displaymath}

 

como se quería.

Ejemplo:

Resolver la ecuación

 

 

\begin{displaymath} x \frac{dy}{dx} - 4y = x^6 e^x \end{displaymath}

 

Reescribiendo la ecuación tenemos

 

 

\begin{displaymath} \frac{dy}{dx} - \frac{4}{x} y = x^5 e^x \end{displaymath}

 

El factor integrante está dado por

 

 

\begin{displaymath} \mu(x)= e^{-4 \int \frac{dx}{x} } = e^{-4 Ln(x)} = \frac{1}{x^4} \end{displaymath}

 

Con lo cual la solución está dada por

 

 

\begin{displaymath} \frac{y}{x^4} = \int x e^x dx = x e^x - e^x + c \end{displaymath}

 

Es decir, $y = x^5 e^x - x^4 e^x + cx^4$

Ejemplo:

Considere la ecuación diferencial

 

(1.11)

 

Encuentre una función $P(x)$ de forma tal que la ecuación diferencial (1.11) sea exacta y resuelva dicha ecuación diferencial.

Para que la ecuación (1.11) sea exacta debe cumplir

 

 

\begin{displaymath} \frac{\partial M}{\partial y} = x^2 = \frac{\partial N}{\partial x} = 2x P(x) + x^2 P^{\prime}(x) \end{displaymath}

 

De aquí obtenemos la ecuación diferencial lineas en $P$$x$

 

 

\begin{displaymath} x^2 = 2x P(x) + x^2 P^{\prime}(x) \Rightarrow P^{\prime}(x) + \frac{2}{x} P(x) = 1 \end{displaymath}

 

cuya solución es

 

 

\begin{displaymath} P(x) = \frac{x}{3} + \frac{c}{x^2} \end{displaymath}

 

De donde tomando $c=0$ obtenemos que $P(x)=\frac{x}{3}$.

Ejemplo:
Compruebe que la ecuación diferencial

 

 

\begin{displaymath} y^{\prime} + P(x) y = Q(x) y Ln(y) \end{displaymath}

 

donde $P(x)$$Q(x)$ son funcuiones reales, se transforma en una ecuación diferencial lineal al hacer $u=Ln(y)$.

Como

 

 

\begin{displaymath} u = Ln(y) \Rightarrow u^{\prime} = \frac{y^{\prime}}{y} \Rightarrow y^{\prime} = u^{\prime} y = u^{\prime} e^{u} \end{displaymath}

 

Sustituyendo

 

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} y^{\prime}+ P(x) y = Q(x) y Ln(y) & \Ri... ... & \Rightarrow & u^{\prime} - Q(x) u = -P(x) \\ \end{array} \end{displaymath}

 

la cual es una ecuación diferencial lineal.

 


ESTUDIANTES:

DEFINIR: ECUACIÓN   DIFERENCIAL  LINEAL  DE  PRIMER  ORDEN.

PASOS  DE  RESOLUCIÓN  DE  DICHA  ECUACIÓN.

RESEÑA    HISTÓRICA   DE  DICHA  ECUACIÓN .  IMPORTANCIA  ,  APLICACIONES.

 


EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

  1. Determine cuales de las siguientes funciones son homogéneas. En caso de que lo sean determine el grado de homogeneidad.
    1. $f(x,y) = x Sen(\frac{y}{x})$
    2. $f(x,y) = \frac{y}{x^2 + 3 \sqrt{x^2 + y^2}} $
    3. $f(x,y) = x^2 + 5xy - y^2$
    4. $f(x,y) = \frac{Ln \left( x^2 \right) }{Ln \left( xy \right) } $
  2. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales
    1. $\left( 2x + 3y \right) dx + \left(y - x \right) = 0 $
    2. $y^{\prime} = \frac{x^2-y^2}{x^2 + y^2} $
    3. $y^{\prime} = Sen\left( \frac{y}{x} \right)$
    4. $\left( x^4 + y^4 \right) dx - 2x^3 dy =0$
    5. $\left( \sqrt{x + y} + \sqrt{x - y} \right) dx + \left(\sqrt{x - y} + \sqrt{x + y} \right) dy = 0 $
    6. $ \left( y + \sqrt{x^2 + y^2 } \right) dx - x dy = 0$
    7. $\left( xy + y^2 + x^2 \right) dx - x^2 dy = 0$

 

ECUACIONES HOMOGENEAS

Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior.

Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea.

Definición [Funciones homogéneas]
Una función $f: D \subset \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }^2 \rightarrow \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }$ se dice homogénea de grado $n$ si

\begin{displaymath} f(tx,ty) = t^n f(x,y) \end{displaymath}

para todo $t > 0$ y todo $(x,y) \in D$.

Ejemplo

  1. La función $f(x,y)= \frac{1}{\sqrt{x+y}}$ es homogéénea de grado $\frac{1}{2}$.
  2. Las funciones $f(x,y)=e{\frac{x}{y} }$$f(x,y)= \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} $$f(x,y)=\frac{x}{2x+y}$ son homogéneas de grado 0.
  3. Las funciones $f(x,y)= x^2 + y^2$$f(x,y)=xy$,$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$ son homogéneas de grado 2.

Ahora definimos lo que es una ecuación diferencial homogénea.

Definición [Ecuación diferencial homogénea]
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, $y^{\prime} = f(x,y)$, es homogénea si la función $f(x,y)$ es homogénea de orden cero.

Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma

\begin{displaymath} M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 \end{displaymath}

sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes $M(x,y)$$N(x,y)$ son funciones homogéneos del mismo grado.

Teorema
Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden

\begin{displaymath} y^{\prime} = f(x,y) \end{displaymath}

es homogénea, entonces el cambio de variable $y=ux$ la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.

Demostración:

Al hacer la sustitución obtenemos

\begin{displaymath} x u^{\prime} + u = f(x, x u) \end{displaymath}

Pero como $f(x,y)$ es una función homogénea de grado cero tenemos que

\begin{displaymath} x \frac{du}{dx} + u = x^0 f(1,u) \end{displaymath}

de donde

\begin{displaymath} x \frac{du}{dx} = f(1,u) - u \Rightarrow \frac{du}{f(1,u) - u} = \frac{dx}{x} \end{displaymath}

la cual es separable, como se quería.

Ejemplo

Resuelva la ecuación diferencial

\begin{displaymath} \left(x^2 + y^2 \right) dx + xy dy = 0 \end{displaymath}

La ecuación diferencial es homogénea pues $M(x,y) = x^2 + y^2$$N(x,y) = xy$son homogéneas de grado dos

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} M(tx,ty) & = & \left(t x \right)^2 + \l... ...\right) = t^2 \left( xy \right) = t^2 N(x,y) \\ \end{array} \end{displaymath}

Haciendo la sustitución

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \left(x^2 + \left(u x \right)^2 \right)... ... dx + \frac{u}{1 + 2 u^2} du \right) & = & 0 \\ \end{array} \end{displaymath}

de donde

\begin{displaymath} \frac{1}{x} dx + \frac{u}{1 + 2 u^2} du =0 \end{displaymath}

Integrando y volviendo a las variables $x$$y$ obtenemos

\begin{displaymath} Ln \mid x \mid + \frac{1}{4} Ln \mid 1 + 2 \left(\frac{y}{x} \right)^2 \mid = c \Rightarrow x^4 + 2 x^2 y^2 = c \end{displaymath}

Note que $x=0$ es una solución singular de la ecuación diferencial dada.

Observación: Cuando la ecuación diferencial homogénea está escrita en la forma

\begin{displaymath} M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 \end{displaymath}

conviene más rescribirla en la forma

\begin{displaymath} \frac{dy}{dx} = -\frac{M(x,y)}{N(x,y)} \end{displaymath}

y aplicar quí el cambio de variable $y=ux$.

Ejemplo

Resuelva la ecuación diferencial

\begin{displaymath} x y^{\prime} = \sqrt{x^2 - y^2 } + y \end{displaymath}

Factorizando $x$

\begin{displaymath} y^{\prime} = \sqrt{1 - \left( \frac{y}{x} \right)^2} + \frac{y}{x} \end{displaymath}

Haciendo la sustitución $y=ux$

\begin{displaymath} \frac{du}{\sqrt{1- u^2}} = \frac{dx}{x} \end{displaymath}

Integrando

\begin{displaymath} ArcSen(u) = Ln \mid x \mid + Ln \mid c \mid \end{displaymath}

Y despejando $y$

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} & \Rightarrow & arcsen\left( \frac{y}{x... ...& y = Sen \left(Ln \left( cx \right) \right) \\ \end{array} \end{displaymath}

Observación: al dividir por el factor $x \sqrt{1 - u^2} $ se pudo haber perdido algunas soluciones, pero $x=0$ no es solución y $1 - \frac{x^2}{y^2} =0 \Rightarrow y = \pm x$ que son soluciones singulares.




CidseRevista virtual Matemática, Educación e InternetITCR

ESTIMADOS  ESTUDIANTES  DEBEN  INVESTIGAR  CONCEPTO  DE  FUNCIÓN  HOMOGÉNEA.REALIZAR UN  ANÁLISIS  AL  RESPECTO  Y  PUBLICAR , ESTA  INFORMACIÓN QUE  LES DEJO,  ES  PARA  QUE  TENGAN UNA  REFERENCIA.  PERO  DE  USTEDES  QUEDA QUE  COMPLEMENTEN  LA  TEORÍA  DE  ECUACIONES DIFERENCIALES  HOMOGÉNEAS

ecuaciones diferenciales

    HOLA.  A  TODOS  POR  FAVOR  PUBLICAR  :  RESEÑA   HISTÓRICA  DE  LAS  ECUACIONES  DIFERENCIALES. DEFINICIONES  BÁSICAS. TIPOS.  CON  SUS RESPECTIVOS  EJEMPLOS. APLICACIONES .

     NOTA:  ELABORAR  UN  INFORME  AL RESPECTO  MÁXIMO   TRES  PERSONAS. EN  LA  EVALUACIÓN  PARCIAL SE  LES  COLOCARÁ  PREGUNTAS  RELACIONADAS  A  DICHO  INFORME.

 

OBSERVACIÓN:  PUEDEN  INGRESAR  EN   YOUTUBE.COM .EN  EL  APARTADO DE  VIDEOS   COLOCAN  .  VIDEOS  JULIOPROFE .INTEGRALES  .O  SI   QUIEREN  REPASAR  DERIVADAS  ,ALLI  EL  PROFE EXPLICA  DIVERSOS  EJEMPLOS  QUE  LE  SERVIRAN  DE  REPASO..

PLAZO  DE ENTREGA    LUNES :  14-06-2010.