oswald

33 comentarios

1. sanchez ronald 10 jun 2010 - 03:10 AM

   Aqui dejo constancia de la asistencia de que se ha comenzado a investigar el trabajo de matematicas muy interesante

   saccion : 002 ing civil sanchez ronald turno nocturno

2. Dismelys Rojas 10 jun 2010 - 06:16 PM

   dismlys rojas,15333819,seccion 002,ing.civil, nocturno, unefa isabelica.
   lo que puedo acotar sobre la informacion expuesta es que es bastante extenza, ademas que las ecuaciones diferenciales no solamente estan ligadas a matematica sino que tambien en globa a otras ramas. ecuacion diferencial no es mas ,que en ella intervienen derivadas de una o mas funciones,y de ellas se desprenden ecuaciones ordinarias y parciales, lo demas en el trabajo.
   patria,socialismo,por una venezuela mas equidista,naturalista,conscientisista,asi si venceremos.....

3. sanchez ronald 12 jun 2010 - 07:08 PM

   Republica Bolivariana de Venezuela. Ministerio del poder popular para la Defensa.
   Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada.
   U.N.E.F.A.
   Núcleo: Carabobo, Valencia.
   Extensión: Isabelica.

   Año 198 de la Independencia y 151 de la Federación.

   PROF: Oswald
   Alumno: Sánchez Ronald.
   Sección: 002
   Carrera: ing civil.
   Régimen nocturno.

   Valencia 11 de junio de 2010

   Ecuación diferencial:

   Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones.

   Orden de una ecuación diferencial: El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación.

   Grado de una ecuación diferencial: Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

   Tipos:
   Ecuación diferencial de primer orden
   Ecuación diferencial lineal
   Ecuación diferencial exacta
   Ecuaciones homogéneas

   Ejemplo:

   Ecuaciones de primer grado por variables separables:
   Se dice que una ecuación diferencial se puede separar si es posible exhibir la ecuación en la forma:

   El factor integrante , es decir, si multiplicamos esta expresión por esta cantidad tendremos

   Lo cual resulta fácil de integrar siendo una función de la variable x y una función de y, sin embargo, para la obtención de la solución es importante considerar si las funciones son integrables.
   Ejemplo de variables separables:
   1.- Encontremos la solución de la ecuación diferencial

   Solución:

   Despejando tenemos:

   Integrando

   Despejando

   Ecuaciones diferenciales homogéneas:
   Una función se dice homogénea de grado si

   Para todo y todo .

   Ecuación diferencial lineal:
   Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma general y comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma:

   O usando otra notación frecuente:

   Vemos que lo que define que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparecen productos de la función incógnita consigo misma ni ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:

   Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.
   Ecuación lineal de primer orden:
   Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:

   Donde y son funciones continuas en un intervalo . La solución de esta ecuación viene dada por:

   Ecuaciones lineales de orden n:
   Del mismo modo que se ha definido la ecuación diferencial lineal de primer orden como podemos definir una ecuación diferencial de orden n como:

   Donde la derivada mayor que aparece es de orden n-ésimo.

   Ejemplos:
   La función

   es solución de la ecuación diferencial .
   Observe que para calcular debemos usar el teorema fundamental

   Sustituyendo

   Si la solución de una ecuación diferencial de orden tiene constantes diferentes, diremos que dicha solución es la solución general de la ecuación diferencial. Si asignamos valores a algunas o todas esas constantes obtenemos lo que se conoce como una solución particular.
   Ejemplo
   La familia de rectas es la solución general de la ecuación diferencial . La parábola es una solución singular.
   No es difícil comprobar que ambas son solución de la ecuación diferencial dada. En la figura 3 se muestra la solución singular y varias soluciones particulares.

   Figura 3
   Observe que la parábola es tangente en cada uno de sus puntos a una curva de la familia de rectas , cuando sucede esto decimos que la parábola es la envolvente de la familia de rectas ; como se indica en la siguiente definición.

4. Nelson Guerrero 12 jun 2010 - 10:17 PM

   Nombre: Nelson Guerrero
   C.I.: 19.771.680
   Curso: Ing. Civil, sección I001N

   La historia de las ecuaciones diferenciales comienza a finales del siglo
   XVII con los trabajos de I. Newton (1642—1727) y G. Leibniz (1646—1716). Con el desarrollo posterior de la mecánica, la física, y el electromagnetismo, las ecuaciones diferenciales encontraron uso creciente como instrumentos para la descripción matemática de los fenómenos naturales.
   Hasta el siglo XIX la cuestión primordial era encontrar soluciones explícitas para las ecuaciones diferenciales que surgían en el estudio de problemas en la mecánica y la física. Los trabajos de L. Euler (1707—1783), los Bernoulli (ocho miembros de esta familia suiza fueron matemáticos a lo largo del S. XVIII), J. d’Alembert (1717—1783), J.L. Lagrange (1736—1813) y P.S. Laplace (1749—1827) configuran este período. Se trataba de encontrar métodos de resolución que, para tipos particulares de ecuaciones, permitieran representar las soluciones mediante fórmulas que involucraran
   los datos de las ecuaciones, o bien como suma de una serie.

   Los tipos de ecuaciones diferenciales los podemos señalar de la siguiente manera:

   Ecuación diferencial ordinaria
   Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
   Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
   Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior
   Ecuación lineal de orden n con coeficientes constantes

5. Elvis Diaz Yubari Cebteno Y Denis Vilera 13 jun 2010 - 04:27 PM

   Realizado por:
   Elvis Díaz C.I. V- 12.318165
   Yubari Centeno CI V-12771643
   Dennis Vilera
   Ingeniería Civil
   Sección: I-001 – N

   Reseña Histórica de ecuaciones Diferenciales
   Las primeras ecuaciones diferenciales fueron resueltas en el siglo XVII (17) por Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli en problemas de Geometría y Mecánica al principio que se originaron estos descubrimientos hicieron creer que las soluciones de todas las ecuaciones deferenciales que se originaban el problema geométricos y físicos podían expresarse podían expresarse por medio de las funciones elementales del cálculo. La mayoría de estos primeros esfuerzos fueron orientados al desarrollo de técnicas ingeniosas para resolver ecuaciones diferenciales por medios de recursos aplicados durante el siglo XVIII, fueron desarrollando procedimientos más sistemáticos, principalmente por Euler, Lagrange y Laplece.En 1820, Cauchy obtuvo el primer “teorema de Existencia “para las ecuaciones diferenciales, pero en 1841, José Liouville, demostró tal condición no siempre era posible con medios elementales.

   Entre los matemáticos arriba mencionados existieron otros que hicieron sus aportes a las ecuaciones diferenciales tales como:
    Niels Abel:
   El matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) hizo aportes en ecuaciones integrales, funciones elípticas, álgebra (probó que las ecuaciones polinómicas de quinto grado no tienen soluciones exactas. Identidad de Abel
    Daniel Bernoulli:
   El suizo Daniel Bernoulli (1700-1792) hace aportes en dinámica de fluidos (principio de Bernoulli), probabilidad, mecánica (incluyendo el problema de la cuerda vibrante).
    Jacques Bernoulli:
   Jacques Bernoulli (1654-1705), suizo, hace aportes a la mecánica, geometría, astronomía, probabilidad, cálculo de variaciones y problemas de la braquistócrona. La ecuación de Bernoulli fue propuesta por él en 1695 pero resuelta independientemente por Leibniz y su hermano Jean. Cadena colgante (catenaria)
    Jean Bernoulli
   Jean Bernoulli (1667-1748), matemático suizo, resuelve problemas de trayectorias ortogonales en 1698, mecánica, problema tautócrono; propuso y resolvió el problema de la baquistrócona (también resuelto por su hermano Jacques). Introdujo la idea del factor integrante.
   Entre otros muchos matemáticos a través de las décadas.
   Definición de ecuaciones Diferenciales
   Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
   • Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
   • Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
   En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.
   Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.
   Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.
   Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.
   En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo.
   Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
   •
   Tipos de ecuaciones diferenciales
   • Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
   Si F es esta relación o función, la ecuación diferencial ordinaria (EDO) es
   (1a)
   La ecuación diferencial lineal más general, de orden n está dada por:
   (1b)
   Donde los ai representan funciones dependientes de t.
   Una solución de la ecuación (1a) o (1b) será una "familia" de curvas o funciones del tipo que substituida dentro de la ecuación la convierte en una igualdad en la que todos los términos son conocidos.

   Ecuación de variables separables
   Son EDOs de la forma:

   En donde es posible "despejar" todos los términos con la variable dependiente en función de la variable independiente, quedando ahora la ecuación:

   En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación

   De donde es posible obtener la solución

   Ecuación diferencial de Euler o de Cauchy
   Esta ecuación tiene la forma:

   • Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
   Solución general y solución completa
   Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas.
   Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en el ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.

   Notación y ejemplos
   En las ecuaciones en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub-índices (Notación tensorial). Esto es:

   Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como para las derivadas espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como
   (Notación matemática)
   (Notación física)

6. JACK CORREA 13 jun 2010 - 05:30 PM

   BUENOS DIAS PROFE ES JACK CORREA I002 CIVIL. NOCTURNO

   ECUACIONES DIFERENCIALES

   Ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

   * Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
   * Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

   Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

   * \,y'= 2xy + 1 es una ecuación diferencial ordinaria, donde \,y=f(x) es la variable dependiente, \,x la variable independiente y'=\frac{dy}{dx} es la derivada de \,y con respecto a \,x.
   * La expresión \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}=0 es una ecuación en derivadas parciales.

   A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
   Orden de la ecuación

   El orden de la derivada más alta en una ecuación deferencial se llama orden de la ecuación
   Grado de la ecuación

   Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
   Ecuación diferencial lineal

   Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma \, a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x), es decir:

   * Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
   * En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
   * Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

   Ejemplos:

   * \,y'= y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones y = f(x) = k \cdot e^x , con k un número real cualquiera.
   * \,y'' + y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones y = f(x) = a \cos (x) + b \sin (x)\,, con a y b reales.
   * \,y'' - y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones \,a \cdot e^x+b \cdot 1/(e^x), con a y b reales.

   Usos

   Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

   * En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

   \mathbf{Mx}''(t)+ \mathbf{Cx}'(t)+\mathbf{Kx}(t)=\mathbf{P}(t) \,

   Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

   * La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

   { \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 {\partial^2 u \over \partial x^2 },

   donde t\, es el tiempo y x\, es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda Solución de una ecuación diferencia Tipos de soluciones

   Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

   1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
   2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
   3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

   Resolución de algunas ecuaciones

   * Ecuación diferencial de primer orden
   * Ecuación diferencial lineal
   * Ecuación diferencial exacta
   * Ecuación de Jacobi
   * Ecuación de Clairaut

   Véase también

   * Función diferenciable
   * Historia de las ecuaciones diferenciales
   * En el proceso matematico

7. Anthony zapata. C.I.:19.479.542. Ivan perez C.I.:18.589.784 ing. civil. seccion: I-002 N. 13 jun 2010 - 09:58 PM

   Historia de las ecuaciones diferenciales

   Una ecuación es una igualdad condicional que se cumple sólo para las soluciones de la misma. Así, en una ecuación algebraica como x – 2 = 0, la igualdad sólo se cumple para x = 2.
   En forma similar, una ecuación diferencial, constituida por funciones y sus derivadas, es una igualdad que se cumple sólo para las funciones que son soluciones de la misma. Así, si tenemos f(x) = f’(x), la solución será la función exponencial “e elevado a la x”, ya que es la única función cuya derivada es igual a la función misma.
   Ecuación diferencial
   Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
   • Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
   • Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
   •
   Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
   • es una ecuación diferencial ordinaria, donde es la variable dependiente, la variable independiente es la derivada de con respecto a .
   • La expresión es una ecuación en derivadas parciales.
   A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
   Orden de la ecuación
   El orden de la derivada más alta en una ecuación deferencial se llama orden de la ecuación
   Grado de la ecuación
   Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
   Ecuación diferencial lineal
   Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
   • Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
   • En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
   • Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
   Ejemplos:
   • es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.
   • es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
   • es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
   Usos
   Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
   • En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

   Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
   • La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

   donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

   Tipos de soluciones
   Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
   1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
   2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
   3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

8. oscar ortiz, erik rebolledo, susana nuñez 13 jun 2010 - 10:00 PM

   República Bolivariana de Venezuela.
   Ministerio del poder popular para la Defensa.
   Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada.

   ecuaciones difernciales

   Integrantes:
   Oscar Ortiz C.I 18.361.951
   Erik Rebolledo C.I 18.241.545
   Susana Núñez C.I 15.102.751
   Ing. Civil nocturno
   Sección 01, tercer semestre
   Valencia, 13 de junio del 2010

   RESEÑA HISTÓRICA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
   Los primeros intentos para resolver problemas físicos mediante el cálculo diferencial a finales del siglo XVII llevaron gradualmente a crear una nueva rama de las matemáticas, a saber, las ecuaciones diferenciales. A mediados del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales se convirtieron en una rama independiente y su resolución un fin en sí mismo.
   Ya que Newton, creador junto con Leibniz del cálculo infinitesimal observo que si dny/dxn = 0, entonces y(x) es un polinomio de grado n − 1, en particular, y depende de n constantes arbitrarias, aunque esta afirmación tuvo que esperar hasta el siglo XIX para poder ser demostrada con rigor. Los matemáticos de la época con frecuencia usaban argumentos físicos como por ejemplo: si y (t) denota la posición en el tiempo t de una partícula, entonces dy/dt es su velocidad. Si dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es decir, la partícula no se mueve y su posición, por tanto, permanece constante.
   En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouilli publicaron soluciones independientes. La de Jean Bernouilli es la que se encuentra habitualmente en los textos de mecánica el cual dice:
   Consideremos un cable homogéneo sujeto por sus dos extremos que suponemos a la misma altura y que distan dos a uno del otro y sea ρ la densidad del cable. Sea y = y(x) la función que describe la posición del cable. Por conveniencia se asumirá que la altura mínima del cable ocurre en x = 0 (o en otras palabras,y0 (0) = 0).

   En 1693 Huygens habla explícitamente de ecuaciones diferenciales y en el mismo año, Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales son funciones de elementos del triangulo característico.

   El estudio de funciones minimizantes llevo al descubrimiento del cálculo de variaciones por Euler a mediados del siglo XVIII y Lagrange a finales del siglo XVIII mejoró y amplió los métodos de Euler. Por otra parte, la catenaria la cual dice que de entre todas las curvas de longitud dada, la que minimiza la energía potencial es precisamente la catenaria. Si y : [−a, a] IR es la función que describe la forma de la catenaria por la cual se puede obtener por dos caminos distintos: a partir de las leyes de Newton o como la curva que minimiza una cierta magnitud física. Se vio que muchos problemas físicos poseen esta dualidad. La reformulación de las leyes físicas por medio de funciones minimizantes fue hecha por Hamilton a mediados del siglo XIX. Leibniz descubrió la técnica de separación de variables en 1691. También redujo en el mismo año la ecuación homogénea dy/dx = f(y/x) a una separable de primer orden del modo usual: con el cambio y = vx. En 1694, Leibniz, publicó la resolución de la ecuación:

   dy/dx + p(x) y = q(x).

   En 1694, Leibniz y Jean Bernouilli estudiaron el problema de encontrar la familia de curvas que cortan con un ángulo dado a una familia de curvas dadas. Jean Bernouilli señaló que este problema es importante para determinar las trayectorias de los rayos de luz que recorren un medio no uniforme porque dichos rayos cortan ortogonalmente los llamados frentes de luz. El problema fue resuelto de forma general e independiente por Leibniz y por Jean Bernouilli en 1698. El método empleado es el mismo que se usa hoy en día. Jean Bernouilli planteó el problema de determinar el movimiento de un proyectil en un medio cuya resistencia es proporcional a una potencia de la velocidad.

   En sus esfuerzos por tratar el problema de la cuerda vibrante, Jean Bernouilli en 1724, planteó y resolvió la ecuación d2y/dx2 =k2y. Anteriormente se dedujo la ecuación que debe satisfacer un péndulo simple: d2θ/dt +mg senθ = 0. Es de destacar que antes de la solución de Jean Bernouilli, ni se conocía la solución del péndulo simple, ni la que se obtiene tras aproximar sen θ por θ. Euler comenzó a considerar ecuaciones de orden superior a uno en1728. En 1734, el único método disponible por Euler fue la utilización de series y obtuvo cuatro series distintas.

   D’Alembert observa que el conocimiento de una solución particular y de la solución general de la homogénea conduce, por adición, a la solución general de la no homogénea. Lagrange estudia cómo obtener soluciones particulares y a él se le debe también el método de variación de parámetros

   . Los sistemas de ecuaciones diferenciales surgieron en la historia de las matemáticas
   con la misma intención que las ecuaciones diferenciales ordinarias: Analizar cuantitativamente determinados sistemas físicos, en particular los astronómicos. En el campo de la astronomía los principios físicos como las leyes del movimiento de Newton y la ley de gravitación estaban claros y los problemas matemáticos eran mucho más profundos. El problema matemático fundamental al estudiar el movimiento de dos o más cuerpos, moviéndose cada uno bajo la acción gravitatoria de los otros es el de resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.
   El primer éxito lo obtuvo Newton en los principios al demostrar que a partir de sus leyes de movimiento y de la ley de gravitación universal se podían deducir las tres leyes planetarias de Kepler. El problema de los tres cuerpos sometidos a una acción gravitatoria
   como un fue estudiado intensamente por Euler, Laplace y Lagrange obteniendo solo resultados parciales.

   Al no obtener métodos generales para resolver los sistemas de ecuaciones diferenciales, los matemáticos se volcaron con los sistemas de ecuaciones lineales de coeficientes constantes. La primera vez que surgió este tipo de sistemas fue al estudiar sistemas de muelles acoplados, a partir de la ley de Hooke. La noción de polinomio característico aparece ya explícitamente en el trabajo de Lagrange sobre sistemas de ecuaciones diferenciales publicado en 1774 y en el trabajo de Laplace en 1775. Por otra parte, Laplace desarrolló un método alternativo para hallar la solución de tales sistemas. En el famoso ensayo “Théorie analytique des probabilités”, publicado en 1812, Laplace presentó lo que ahora se conoce como la transformada de Laplace para encontrar la solución de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Esta transformada sirve también para encontrar la solución de los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.

   A principios del siglo XIX se desarrolló una fase en la que se trataba de demostrar algunos hechos dados por validos en el siglo anterior. En 1820 Cauchy probó la existencia de soluciones de la ecuación diferencial y0 = f(t, y) bajo ciertas condiciones. En 1890 Picard estableció un método de aproximaciones sucesivas que permite establecer con precisión el teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales de orden n.
   Posteriormente, Cauchy, al tratar de demostrar el mismo teorema para los sistemas de ecuaciones diferenciales, introdujo la notación vectorial que todavía se utiliza hoy en día.

   Generalización que, utilizando los conceptos matriciales introducidos por Cayley a mediados del siglo XIX, ayudó a Jacobia resolver completamente los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes donde la matriz del sistema es diagonalizable. Posteriormente Jordán introdujo lo que hoy se conoce como la forma canónica de Jordán precisamente para resolver los sistemas lineales de ecuaciones donde la matriz no es diagonalizable. Las investigaciones de Poincaré sobre la estabilidad y periodicidad de las soluciones del sistema solar le condujeron al inicio de la teoría de las ecuaciones diferenciales no lineales. Obtuvo a finales del siglo XIX una serie de resultados de índole cualitativo que fueron mejorados por Bendixson y por Liapunov.

   DEFINICIONES BÁSICAS

   Una ecuación diferencial: Es aquella ecuación que contiene diferenciales o derivadas de una o más variables.

   Una ecuación Diferencial Ordinaria: Es aquella ecuación que contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

   Ecuaciones Diferenciales Parcial: Son aquellas ecuaciones que contienen derivadas parciales dependientes de dos o más variables independientes.

   Orden de una ecuación diferencial: El orden de una ecuación diferencial, es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.

   Grado de una ecuación diferencial: El grado de una ecuación diferencial es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.

   TIPOS
   Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

   Resolver la ecuación diferencial:
   y' = p(x).y = 0
   con la condición y(0) = 1 siendo :

   Esta ecuación es del tipo lineal por ser de primer grado en y' e y. La ecuación tendrá una solución para cada uno de los intervalos indicados. Calculamos la primera de ellas con la condición y(0) = 1.
   y' + 2y = 0 ; dy + 2y.dx = 0 □(1/y) ; dy + 2.dx = 0 ; Ln y + 2x = Ln C
   Si tomamos antilogaritmos tenemos :

   La ecuación resultante toma para x = 1 el valor e-2 con lo que la siguiente ecuación tenemos que resolverla en la forma:
   y' + y = 0 ; con la condición y(1) = e-2
   Tenemos según eso:

   y' + y = 0 ; dy + y.dx = 0 ; □(1/y) dy + dx = 0 ; Ln y + x = Ln C ; y = C.e-x
   y considerando el valor y(1) = e-2

   Ecuación de variables separables

   Ecuación exacta

   Ecuación lineal

   Ecuación homogénea

   Ecuaciones de orden superior

   APLICACIONES
   Aplicaciones a la Biología: Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era:
   dy / dt = y
   Con solución
   y = ce

   Aplicaciones a la física: Debido a que algunos fenómenos físicos son calculados con estas ecuaciones.

   Aplicaciones a la Química: En cuanto al cálculo de algunas mezclas químicas.

   Aplicaciones a la Economía: En cuanto a la aplicación de oferta y demanda de algunos productos, etc.

9. Odalie Espinoza C.I 15745680 13 jun 2010 - 11:54 PM

   Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
   Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
   Una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.
   Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.
   Si F es esta relación o función, la ecuación diferencial ordinaria (EDO) es

   La ecuación diferencial lineal más general, de orden n está dada por:

   Donde los ai representan funciones dependientes de t.
   Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
   Una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo.
   Notación y ejemplos
   En las ecuaciones en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub.índices (Notación tensorial). Esto es:

   Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como para las derivadas espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como
   (Notación matemática)
   (Notación física)
   Solución general y solución completa
   Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas.
   Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en la ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.
   Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales:
   (8x + y + 25)dx + (7x – 16y + 140)dy = 0 (1)
   Solución
   (1) puede escribirse como: ecuación reducible a homogénea). Vemos que: 8(-16) ¹ 1(7)
   Encontramos la solución del sistema: 8x + y + 25 = 0
   7x – 16y + 140 = 0
   Que es x = -4, y = 7
   Hacemos el cambio de variables: u = x + 4 à du = dx
   v = y – 7 à dv = dy
   En la ecuación, reemplazamos:
   (2)
   La cual es homogénea. Hacemos cambio:

   En (2):

   Por fracciones parciales:
   Integrando:

   (3)
   Pero En (3):

10. Alcides Paz 14 jun 2010 - 01:38 AM

    ALCIDES PAZ
    SECCION: 001
    ING. CIVIL
    SEMESTRE : III

    La historia de las ecuaciones diferenciales

    Comienza a finales del siglo XVII con los trabajos de I. Newton (1642—1727) y G. Leibniz (1646—1716). Con el desarrollo posterior de la mecánica, la física, y el electromagnetismo, las ecuaciones diferenciales encontraron uso creciente como instrumentos para la descripción matemática de los fenómenos naturales. Hasta el siglo XIX la cuestión primordial era encontrar soluciones explícitas para las ecuaciones diferenciales que surgían en el estudio de problemas en la mecánica y la física. Los trabajos de L. Euler (1707—1783), los Bernoulli (ocho miembros de esta familia suiza fueron matemáticos a lo largo del S. XVIII), J. d’Alembert (1717—1783), J.L. Lagrange (1736—1813) y P.S. Laplace (1749—1827) configuran este período. Se trataba de encontrar métodos de resolución que, para tipos particulares de ecuaciones, permitieran representar las soluciones mediante fórmulas que involucraran los datos de las ecuaciones, o bien como suma de una serie. Para los casos más simples la resolución se alcanzaba por integración y de ahí que se denominara integración de ecuaciones diferenciales al procedimiento general de búsqueda de soluciones. En el período que comentamos aparecen los primeros intentos de obtener aproximaciones numéricas de las soluciones, como el método poligonal de Euler. Será a lo largo del siglo XIX cuando las ecuaciones diferenciales sean objeto de una teoría matemática con pretensiones de rigor y generalidad (en paralelo con lo sucedido, por la misma época, en otras ramas de las matemáticas). Son matemáticos de ese siglo los que plantean y abordan los problemas básicos que conformarán la teoría de las ecuaciones diferenciales hasta nuestros días: existencia y unicidad de soluciones, estudio de propiedades locales y globales de las soluciones, justificación de los métodos de integración, etc.
     
    Definiciones básicas acerca de las ecuaciones diferenciales
    Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene diferenciales o derivadas de una o más variables.
    Una ecuación Diferencial Ordinaria. Es aquella ecuación que contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.
    Ejemplos:

    El orden de una ecuación diferencial esta determinado por el orden de la derivada más grande dentro de la ecuación diferencial.
    Ecuaciones Diferenciales Parcial. Son aquellas ecuaciones que contienen derivadas parciales dependientes de dos o más variables independientes. Ejemplo:

    Una ecuación ordinaria o parcial se puede clasificar según el orden, es decir, de acuerdo a la derivada más alta en la ecuación.
    Ejemplos

    Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
    Otro ejemplo pero en derivadas parciales es el que a continuación se presenta, se trata de una ecuación diferencial parcial de tercer orden

    En general, una ecuación diferencial ordinaria de orden n se representa como:

    A continuación se abordara otro clasificación, la cual corresponde a la linealidad o no linealidad.

    Recordemos que una ecuación se dice lineal si

    Donde los ai no todos son cero.
    En el caso de la ecuación diferencial la linealidad es caracterizada por la forma

    Donde es una función de x no cero.
    Se observan dos características en dicha forma: la variable dependiente, en este caso la variable y, junto todas sus derivadas son de primer grado, es decir, la potencia en y es 1; por otro lado, cada coeficiente depende solo de la variable dependiente de x.

11. Maria Pineda y Yohanna Rodriguez 14 jun 2010 - 03:59 AM

    Nombre: Maria Pineda
    Yohanna Rodriguez
    Seccion: Ing. Civil 001

    Ecuaciones Diferenciales

    Reseña historica de la Ecuaciones Diferenciales

    En 1671 Newton (1643-1729) trabajó sobre la teoría de “Fluxiones” (Una fluxión viene a ser la derivada de una “fluyente”, el cual es el nombre que Newton daba a un variable dependiente). Su investigación se relacionó con “Ecuaciones Fluxionales” que ahora llamaríamos ecuaciones diferenciales. Él dividió a las ecuaciones diferenciales en tres categorías. En la primera, estas tendrían a forma dy/dx = f(x) o dy/dx = f(y). En la segunda, tendrían la forma
    dy/dx = f(x, y). Y en la tercera categoría están las ecuaciones diferenciales parciales. El método de solución desarrollado por él fue el de series de potencias el cual consideró un método “universalmente válido”.

    El matemático y filosofo Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) también trabajó en ecuaciones diferenciales; encontró el método para las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. En 1690, Jakob Bernoulli (1654-1705) mostró que el problema de determinar la isócrona (curva vertical plana en la cual una partícula que se deslice sobre ella hasta el fondo tardará un tiempo
    fijo que no depende del punto inicial) es equivalente a resolver una ecuación diferencial de primer orden no lineal; él la resolvió por el método de variables separables (el método general sería enunciado por Liebniz). El artículo de Bernoulli se convirtió en una “milestone” en la historia del Cálculo.
    La segunda etapa (1728- ) de la historia de las EDs estuvo dominada por Leonard Euler: Él introdujo varios métodos para ecuaciones de orden inferior, el concepto de factor integrante, la teoría de las ecuaciones lineales de orden arbitrario, el desarrollo del uso del método de series de potencias entre otras cosas. La etapa siguiente (1820- ) fue una etapa de formalización y en ella hay dos personajes importantes Niels Henrik Abel (1802-1829) y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857); los problemas de existencia y unicidad de las solución cobraron importancia.
    Ecuaciones diferenciales
    Definición : Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que involucre una función desconocida y alguna de sus derivadas.
    Las ecuaciones diferenciales se clasifican en :
    Ordinarias : cuando la función desconocida o incógnita depende de una variable.
    Ecuaciones diferenciales ordinarias
    Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio
    infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero “0”

    Ecuaciones diferenciales ordinarias:
    Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"

    Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales (razones de cambio infinitesimales),
    Encontramos integrando
    Encontramos integrando

    Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden:

    Es una solución general de la ecuación diferencial

    Ecuaciones diferenciales homogéneas:
    Una ecuación lineal homogénea tiene la forma donde "P" y "Q" son funciones
    De "X"
    La solución de estas ecuaciones se obtiene haciendo

    Z y U son funciones de x que deben determinarse por lo tanto

    Determinamos "u" integrando la ecuación

    Resolviendo la ecuación anterior obtenemos que

    Integrando y sustituyendo en los valores anteriores obtenemos

12. elena sánchez 14 jun 2010 - 04:37 AM

    Valencia, 13 de Junio de 2010.
    Tntegrantes:
    Argelia Gonzalez
    Elena Sánchez
    Jenny Vergara
    Daniel porras
    Sección: I-001N
    3er.Sementre
    Ing.Civil

    Reseña Histórica de las Ecuaciones Diferenciales:
    Comenzo en el siglo XVII hablarse de las Ecuaciones Diferenciales por los matemáticos y físicos Newton, Leibniz y los Bernoulli ellos empezaron al resolver algunas ecuaciones diferenciales sencillas de primer orden y segundo orden que presentaron un problema de geometría y mecánica. Para el siglo XVIII desarrollaron algunos procedimiento sistemáticos principalmente por Euler, Lagrange.Se dieron que con pocas ecuaciones diferenciales podría resolverse con recursos elementales pero los matemáticos fueron dandose cuenta en vano empeño de intentar métodos para resolver la ecuaciones diferenciales. Encontraron averiguar si una ecuación diferencial tenia o no solución si la tenia trataria de deducir propiedades de la solución a partir de la misma ecuación diferencial.Entonces los matemáticos empezaron a considerar las ecuaciones diferenciales como nfuentes de nuevas funciones. Pero en el siglo XIX fué importante desarrollar una teoría con tendencia paralelas consiguiendo rigurosamente el cálculo. Pero los matemáticos Cauchy, Liouvillle ellos mostraron establecer teorema generales garantizado la existencia de soluciones para ciertaclases especiales de ecuaciones diferenciales.
    Definiciones:
    Ecuaciones Diferenciales: Es una ecuación en la que interviene derivadas de una o más funcioes, depediendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva.
    Tipos:
    Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Es aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
    Ejemplo.
    y'=2xy+1 es una ecuación diferencial ordinaria, donde y=f(x) es la variable dependiente,x la variable independiente y'=dy/dx es la derivada de y con respecto a x.
    Ecuaciones en Derivadas Parciales: Es aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
    La exprexión du/dx+du/dy=0 es una ecuación en derivadas parciales
    Ejemplos:
    y'=2xy=0;du/dx+du/dy=0
    Orden: El orden de una ecuación diferencial( ordinaria o en derivadas parciales ) es el de la de mayoe orden en la ecuación.
    Ejemplos:
    d2y+5[dy]3-4y=ex
    dx2dx es una ecuación de segundo orden.
    Grado: Es la potencia a la que esta elevada la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial
    Ejemplo:
    2
    y" = es una ecuación de orden 2 y de grado 2
    Ecuación diferencial lineal: La forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n es como sigue:
    an(x)dny+a n-1(X)dn-1y+.....+a1(X)dy+a0(X)y=g(X)
    Ejemplo:
    y´=y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden,tieno como soluciones
    x
    y=f(X)=k.e ,con k un número real cualquiera.
    Aplicaciones:
    En Física:se utiliza muchos la ecuaciones diferenciales porque se resuelver derivado funciones para llega a una solución.
    En Algebra: Se utiliza mucho esta ecuaciones diferenciales lineales para llega a una solución particular.

13. Iraida ibarra y Yelitza Romero 14 jun 2010 - 04:46 AM

    Buenas Noches profesor,

    Nosotras le entregaremos el informe en fisico en la proxima clase, dejamos constancia y la resña historica, pertenecemos a la Sección I-002-N de Ingenieria Civil.

    Disculpe Las molestias causadas.

    Reseña Histórica de ecuaciones Diferenciales:

    Las primeras ecuaciones diferenciales fueron resueltas en el siglo XVII (17) por Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli en problemas de Geometría y Mecánica.
    La mayoría de estos primeros esfuerzos fueron orientados al desarrollo de técnicas ingeniosas para resolver ecuaciones diferenciales por medios de recursos aplicados durante el siglo XVIII, fueron desarrollando procedimientos más sistemáticos, principalmente por Euler, Lagrange y Laplace. En 1820, Cauchy obtuvo el primer “teorema de Existencia “para las ecuaciones diferenciales, pero en 1841, José Liouville, demostró tal condición no siempre era posible con medios elementales.

14. Elvidio sivira,Alex Rios,Vanesa Lobos 14 jun 2010 - 07:16 AM

    Buenas prof alli enviamos nuestros comentarios
    ECUACIONES DIFERENCIALES.
    RESEÑA HISTORICA.

    Desde el siglo (XVII) newton (1642-1727) ya realizaba trabajos junto con leibniz (1646-1716) tratando de representar matemáticamente ciertos fenómenos naturales, entre otros. Pudiéramos decir que esto marca el inicio históricamente de las ecuaciones diferenciales.
    Con los desarrollos experimentados en la mecánica, la física y el electromagnetismo las ecuaciones diferenciales fueron utilizadas de manera reiterada y creciente para la explicación matemática de fenómenos y la aplicación
    Practica de situaciones poco claras hasta ese momento.
    Entre 1700 y 1800 se suscito toda una oleada de trabajos tratando de encontrar métodos de resolución para ciertos tipos de ecuaciones buscando la forma de representar las soluciones mediante formulas y de esta forma incorporar los diferentes datos en las ecuaciones.
    Además de newton y leibniz otros matemáticos y físicos que realizaron aportes en ese sentido fueron: l.culer (1707-1783), los bernoulli, toda una familia de matemáticos 8 en total, j d. Alembert (1717-1783), jl. La granjee (1736-1813) y PS. La place (1749-1827).

    DEFINICION: estas (las ecuaciones diferenciales) son ecuaciones que relacionan a una función cualquiera y sus respectivas derivadas independientemente de su numero a una o mas variables independientes. Esta relación que se establece se dice que es de manera no trivial para descartar ecuaciones que cumplen con tal definición de ecuación diferencial pero que son realmente identidades.
    TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN ORDEN Y GRADO:

    Ecuación diferencial ordinaria: es la que contiene una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

    Ecuación diferencial parcial: como su nombre lo dice esta contiene derivadas parciales y que pertenecen a una o más variables dependientes respecto a variables dependientes.

    Ecuación diferencial lineal: esta la distinguimos ya que su variable y derivadas son de primer grado y sus coeficientes tanto en las variables como en las derivadas dependen solo de la variable independiente x, o son constantes.

    Ecuación diferencial no lineal: son aquellas en las que los coeficientes no son función de la variable independiente x por lo que no son lineales.

    Aplicación de una ecuación diferencial

    Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
    La figura siguiente muestra un circuito que contiene una fuerza electromotriz de V volt (V), un capacitor con
    capacitancia de C faradios (F) y un resistor con una resistencia de R ohm (_).
    La caída de voltaje a través del capacitor es Q/C, donde Q es la carga en coulomb (C). La ley de Kirchhoff
    establece:
    pero I(t)=dQ/dt, así tenemos que:
    Suponga que la resistencia es de 5_, la capacitancia de 0.5F, la batería suministra un voltaje constante de 60V
    y que la carga inicial es de Q(0)=0C.
    Determine la carga y la corriente en el tiempo t.
    Considere ahora que: R= 2, C= 0.001F, Q(0)= 0, V(T)= 10sen60t
    RdQ/dt + Q/C= E(T), 2dQ/dt + Q/0.001 = 10sen60t
    dQ/dt +50Q=5sen60t
    50dx=50x
    ye^50t =5sent.e^50t .dt
    5sent^50t dt=uv- vdu, u= e^50t , v= 5sen60tdt

    Qe50t= 5e^50t /72 - 3e^50t cos60t /61 + 3/61

    Q(t)= 5sen60t /72 - 3cos60t /61 + 3e^50t /61

15. Wendy , Ronald y Oriana 14 jun 2010 - 06:12 PM

    Integrantes:
    Wendy Ojeda
    Ronald Perez
    Oriana Rivas
    Ing. Civil nocturno
    Sección 01, tercer semestre

    ECUACION DIFERENCIAL

    El en siglo XVII llevaron gradualmente
    a crear una nueva rama de las matematicas,
    a saber, las ecuaciones diferenciales. A mediados
    del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales
    se convirtieron en una rama independiente y
    su resolucion un fin en sı mismo.
    Ya Newton (los creadores del calculo infinitesimal
    fueron Leibniz y Newton) observo que si dny/dxn = 0, entonces y(x) es
    un polinomio de grado n − 1, en particular, y
    depende de no constantes arbitrarias, aunque
    esta afirmacion tuvo que esperar hasta el siglo
    XIX para poder ser demostrada con rigor (la
    demostracion estandar actual usa el teorema
    del valor medio). Los matematicos de la ´epoca
    con frecuencia usaban argumentos fısicos: si
    y(t) denota la posicion en el tiempo de una
    partıcula, entonces dy/dt es su velocidad. Si
    dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es
    decir, la partıcula no se mueve y su posicion,
    por tanto, permanece constante.
    En 1693 Huygens habla expl´ıcitamente de
    ecuaciones diferenciales y en el mismo a˜no,
    Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales
    son funciones de elementos del triangulo caracterıstico.

    Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

    * Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
    * Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

    TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN ORDEN Y GRADO:

    Ecuación diferencial ordinaria: es la que contiene una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

    Ecuación diferencial parcial: como su nombre lo dice esta contiene derivadas parciales y que pertenecen a una o más variables dependientes respecto a variables dependientes.

    Ecuación diferencial lineal: esta la distinguimos ya que su variable y derivadas son de primer grado y sus coeficientes tanto en las variables como en las derivadas dependen solo de la variable independiente x, o son constantes.

    Ecuación diferencial no lineal: son aquellas en las que los coeficientes no son función de la variable independiente x por lo que no son lineales.

    Aplicación de una ecuación diferencial

    Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
    La figura siguiente muestra un circuito que contiene una fuerza electromotriz de V volt (V), un capacitor con
    capacitancia de C faradios (F) y un resistor con una resistencia de R ohm (_).
    La caída de voltaje a través del capacitor es Q/C, donde Q es la carga en coulomb (C). La ley de Kirchhoff
    establece:
    pero I(t)=dQ/dt, así tenemos que:
    Suponga que la resistencia es de 5_, la capacitancia de 0.5F, la batería suministra un voltaje constante de 60V
    y que la carga inicial es de Q(0)=0C.
    Determine la carga y la corriente en el tiempo t.
    Considere ahora que: R= 2, C= 0.001F, Q(0)= 0, V(T)= 10sen60t
    RdQ/dt + Q/C= E(T), 2dQ/dt + Q/0.001 = 10sen60t
    dQ/dt +50Q=5sen60t
    50dx=50x
    ye^50t =5sent.e^50t .dt
    5sent^50t dt=uv- vdu, u= e^50t , v= 5sen60tdt

    Qe50t= 5e^50t /72 - 3e^50t cos60t /61 + 3/61

    Q(t)= 5sen60t /72 - 3cos60t /61 + 3e^50t /61

    Ejemplo
    y'=2xy=0;du/dx+du/dy=0
    Orden: El orden de una ecuación diferencial( ordinaria o en derivadas parciales ) es el de la de mayoe orden en la ecuación.
    Ejemplos:
    d2y+5[dy]3-4y=ex
    dx2dx es una ecuación de segundo orden.
    Grado: Es la potencia a la que esta elevada la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial
    Ejemplo:
    2
    y" = es una ecuación de orden 2 y de grado 2
    Ecuación diferencial lineal: La forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n es como sigue:
    an(x)dny+a n-1(X)dn-1y+.....+a1(X)dy+a0(X)y=g(X)
    Ejemplo:
    y´=y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden,tieno como soluciones
    x
    y=f(X)=k.e ,con k un número real cualquiera.
    Aplicaciones:
    En Física:se utiliza muchos la ecuaciones diferenciales porque se resuelver derivado funciones para llega a una solución.
    En Algebra: Se utiliza mucho esta ecuaciones diferenciales lineales para llega a una solución particular.

16. Dismelys Rojas 14 jun 2010 - 09:23 PM

    nuevamente se lo envio,el trabajo,ahora con mi respectivo grupo.
    Republica Bolivariana de Venezuela.
    Ministerio para la Defensa.
    Universidad Nacional Experimental
    Politécnica de las Fuerzas Armadas.

    Profesor: Alumna:
    Javier Ramírez. Dismelys Rojas.15333819.
    Sección: 002. Zaida cruces.15219610.
    Aula: 02. José pinzones. 14443773.
    3 semestre.
    Ingeniería Civil.
    Introducción.
    Este trabajo a sido concebido con el principal propósito de ayudarnos a nosotros mismos mediante ejemplos a la resolución de problemas sobre la aplicación de (ecuaciones diferenciales) puedo acotar que la construcción de estos modelos matemáticos sirven para tratar los problemas del mundo real, se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales. Como en la ecuación (x2 + y2) dx - 2xy dy =0, una derivada puede estar presente de manera implícita a través de diferenciales. La meta es de encontrar Métodos para resolver tales ecuaciones, esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación diferencial. Espero que el trabajo que le presentare sea de su agrado tanto para usted como para todo aquel que tenga acceso a el…

    Historia de las ecuaciones diferenciales.
    Una ecuación es una igualdad condicional que se cumple sólo para las soluciones de la misma. Así, en una ecuación algebraica como x – 2 = 0, la igualdad sólo se cumple para x = 2.
    En forma similar, una ecuación diferencial, constituida por funciones y sus derivadas, es una igualdad que se cumple sólo para las funciones que son soluciones de la misma. Así, si tenemos f(x) = f’(x), la solución será la función exponencial “e elevado a la x”, ya que es la única función cuya derivada es igual a la función misma.
    Matemáticos que hicieron aportes a la Teoría de las Ecuaciones Diferenciales.

    •
    Niels Abel
    El matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) hizo aportes en ecuaciones integrales, funciones elípticas, álgebra (probó que las ecuaciones poli nómicas de quinto grado no tienen soluciones exactas. Identidad de Abel.
    Daniel Bernoulli
    El suizo Daniel Bernoulli (1700-1792) hace aportes en dinámica de fluidos (principio de Bernoulli), probabilidad, mecánica (incluyendo el problema de la cuerda vibrante).
    Jacques Bernoulli
    Jacques Bernoulli (1654-1705), suizo, hace aportes a la mecánica, geometría, astronomía, probabilidad, cálculo de variaciones y problemas de la braquistócrona. La ecuación de Bernoulli fue propuesta por él en 1695 pero resuelta independientemente por Leibniz y su hermano Jean. Cadena colgante (catenaria).
    Jean Bernoulli
    Jean Bernoulli (1667-1748), matemático suizo, resuelve problemas de trayectorias ortogonales en 1698, mecánica, problema tautócrono; propuso y resolvió el problema de la baquistrócona (también resuelto por su hermano Jacques). Introdujo la idea del factor integrante.
    Friedrich Bessel
    Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), alemán, hace aportes en astronomía, calculó la órbita del cometa Halley; introdujo las funciones de Bessel y en 1817 estudió el trabajo de Kepler.
    Augustin Cauchy
    El francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) hace aportes en cálculo de probabilidades, cálculo de variaciones, óptica, astronomía, mecánica, elasticidad, análisis matemático. Creó la teoría de variable compleja (1820) y aplicó su teoría a las ecuaciones diferenciales.
    Pafnuti Chebyshev
    El ruso Pafnuti Liwovich Chebyshev (1821-1894) trabaja en teoría de números (números primos), probabilidad, funciones ortogonales, polinomios de Chebyshev.
    Alexis Clairaut
    El francés Alexis Claude Clairaut (1713-1765) hace aportes a la geometría, establece la ecuación de Clairaut y soluciones singulares (1734), astronomía, el problema de los 3 cuerpos, calculó con precisión (1759) el perihelio del cometa Halley.
    Jean D’Alembert
    El francés Jean le Rond D’Alembert (1717-1783) hace aportes a la mecánica incluyendo el problema de la cuerda vibrante. Dinámica de fluidos, ecuaciones diferenciales parciales.
    Peter Dirchlet
    Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), alemán, hace aportes en teoría de números, mecánica de fluidos, análisis matemático; estableció condiciones para la convergencia de las series de Fourier.
    Leonhard Euler
    Leonhard Euler (1707-1783), suizo, fue el más prolífico de los matemáticos del siglo XVIII a pesar de sus impedimentos físicos (perdió un ojo en 1735 y quedó totalmente ciego en 1768), hace aportes a la mecánica, análisis matemático, teoría de números, geometría, dinámica de fluidos, astronomía, óptica, desarrolló (1739) la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales, identidades de Euler, inventó la función gamma.
    Joseph Fourier
    El francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) descubre las series de Fourier en las investigaciones sobre el flujo de calor en 1822; acompañó a Napoleón en la campaña de Egipto (1798).
    Ferdinand Frobenius
    El alemán Ferdinand George Frobenius (1849-1917) estudia los métodos de series para resolver ecuaciones diferenciales; aportes en álgebra y teoría de grupos.
    Karl Gauss
    El alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855) fue uno de los grandes matemáticos del siglo XIX. Hace aportes a la teoría de números, astronomía, electricidad y magnetismo, óptica, geometría, ecuación hipergeométrica.
    George Green
    El inglés George Green (1793-1841) hace aportes a la física matemática, óptica, electricidad y magnetismo, originó el término “potencial”, función de Green.
    Oliver Heaviside
    El inglés Oliver Heaviside (1850-1925) hace aportes al electromagnetismo, sugirió la presencia de la capa atmosférica ahora llamada ionosfera; métodos operacionales no rigurosos para resolver ecuaciones diferenciales.
    Charles Hermite
    El francés Charles Hermite (1822-1901) estudia la teoría de números, prueba (1873) la trascendencia de e, funciones elípticas, álgebra, polinomios de Hermite.
    David Hilbert
    Matemático alemán, David Hilbert (1862-1943) hace aportes al álgebra, ecuaciones integrales, cálculo de variaciones, lógica, espacio de Hilbert, propuso muchos problemas, algunos todavía sin solución.
    Christian Huygens
    Matemático, astrónomo y físico holandés, Christian Huygens (1629-1695) estudia vibraciones, óptica, teoría matemática de ondas. Construye un reloj de péndulo basado en la cicloide (1673), astronomía.
    Johannes Kepler
    El alemán Johannes Kepler (1571-1630) hace aportes a la geometría, especialmente encontrando áreas que ayudaron a la formulación de sus 3 leyes del movimiento planetario.
    Joseph Lagrange
    El francés Joseph Louis Lagrange (1736-1813) fue uno de los grandes matemáticos del siglo XVIII. Establece la mecánica analítica, incluyendo el problema de los 3 cuerpos, acústica, cálculo de variaciones, teoría de números, método de variación de parámetros (1774), ecuación adjunta, álgebra (teoría de grupos), ecuaciones diferenciales parciales.
    Edmond Laguerre
    El francés Edmond Laguerre (1834-1886) hace aportes análisis matemático, variable complejo, funciones analíticas, polinomios de Laguerre.
    Pierre de Laplace
    El francés Pierre Simón de Laplace (1749-1827) hace aportes a la mecánica, astronomía, ecuaciones diferenciales parciales, ecuación de Laplace descubierta alrededor de 1787, probabilidad.
    Adrien Legendre
    El francés Adrien Marie Legendre (1752-1833) hace aportes en teoría de números, funciones elípticas, astronomía, geometría, funciones de Legendre.
    Gottfried Leibniz
    El alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fue el codescubridor, con Newton, del cálculo. Análisis matemático, lógica, filosofía, regla de Leibniz, primero en resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, separables, homogéneas y lineales.
    Joseph Liouville
    El francés Joseph Liouville (1809-1882) estudia la teoría de números (números trascendentes), variable compleja, problemas de Sturm-Liouville. Ecuaciones integrales.
    Isaac Newton
    El inglés Isaac Newton (1642-1727) fue codescubridor del cálculo junto a Leibniz. Hace aportes a la mecánica, leyes del movimiento y ley de gravitación universal, flujo de calor, óptica, análisis matemático, métodos de series para resolver ecuaciones diferenciales (1671).
    Marc Parseval
    El francés Marc Antoine Parseval (1755-1836) hace aportes al análisis matemático, identidad de Parseval en conexión con la teoría de las series de Fourier.
    Charles Picard
    El francés Charles Émile Picard (1856-1941) hace aportes a la geometría algebraica, topología, variable compleja, método de Picard y teoremas de existencia-unicidad para ecuaciones diferenciales.
    Henri Poincaré
    El francés Jules Henri Poincaré (1858-1912) hace aportes a las ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad; topología, mecánica celeste incluyendo el problema de los 3 cuerpos, geometría no euclidiana, filosofía de la ciencia.
    Simeón Poisson
    El francés Simeón Denis Poisson (1781-1840) fue un físico matemático que hace aportes a la electricidad y el magnetismo, ecuación de Poisson, fórmula de Poisson, probabilidad, cálculo de variaciones, astronomía.
    Jacopo Riccati
    El italiano Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) hace aportes al análisis matemático, ecuación de Riccati resuelta en 1723 por Daniel Bernoulli y otros miembros más jóvenes de su familia.
    Bernhard Riemann
    El alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) fue uno de los más grandes matemáticos del siglo XIX (alumno de Gauss, Jacobi y Dirichlet). Variable compleja, geometría no euclidiana, funciones elípticas, ecuaciones diferenciales parciales.
    Olinde Rodríguez
    Matemático francés, Olinde Rodríguez (1794-1851) hace aportes al análisis matemático, fórmula de Rodríguez.
    Hermann Schwarz
    El alemán Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) estudia cálculo de variaciones, teoremas de existencia para ecuaciones diferenciales parciales, desigualdad de Schwarz.
    Jacques Sturm
    El suizo Jacques Charles François Sturm hace aportes al álgebra (número de raíces reales de ecuaciones algebraicas), geometría, mecánica de fluidos, acústica, problemas de Sturm-Liouville.
    Brook Taylor
    El inglés Brook Taylor (1685-1731) hace aportes al análisis matemático, método de series de Taylor, soluciones singulares, vibraciones de resortes, movimiento de proyectiles, óptica.
    Hoene Wronski
    Matemático polaco, Josef Hoene-Wronski (1778-1853) estudia determinantes, introduce el wronskiano, filosofía.
    Ecuación diferencial.
    Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
    • Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
    • Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
    Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
    • es una ecuación diferencial ordinaria, donde es la variable dependiente, la variable independiente es la derivada de con respecto a .
    • La expresión es una ecuación en derivadas parciales.
    A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
    Orden de la ecuación
    El orden de la derivada más alta en una ecuación deferencial se llama orden de la ecuación
    Grado de la ecuación
    Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinomica, de no ser así se considera que no tiene grado.
    Ecuación diferencial lineal
    Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
    • Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
    • En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
    • Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
    Ejemplos:
    • es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.
    • es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
    • es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
    Usos
    Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
    • En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

    Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
    • La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

    Donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.
    Solución de una ecuación diferencial
    Tipos de soluciones
    Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
    1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc.). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
    2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
    3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.
    Los tipos de ecuaciones diferenciales mas especificados:
    Ecuación diferencial ordinaria.
    Una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.
    Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.
    Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.
    Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.
    Si F es esta relación o función, la ecuación diferencial ordinaria (EDO) es
    (1a)
    La ecuación diferencial lineal más general, de orden n está dada por:
    (1b)
    Donde los ai representan funciones dependientes de t.
    Una solución de la ecuación (1a) o (1b) será una "familia" de curvas o funciones del tipo que substituida dentro de la ecuación la convierte en una igualdad en la que todos los términos son conocidos.
    Ecuación diferencial ordinaria
    Sí y es una función desconocida:

    De x siendo y(n) la enésima derivada de y, entonces una ecuación de la forma
    (1)
    Es llamada una ecuación diferencial ordinara (ODE) de orden n. Para funciones vectoriales,
    ,
    La ecuación (1) es llamada un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de dimensión m.
    Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma

    Es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma

    Es llamada una ecuación diferencial explicita.
    Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma.
    Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y

    Siendo, tanto ai(x) como r(x) funciones continuas de x. La función r(x) es llamada el termino fuente (traducido del inglés source term); si r(x)=0 la ecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada no homogénea.
    Soluciones
    Dada una ecuación diferencial

    Una función u: I ⊂ R → R es llamada la solution o curva integral de F, si u es n veces derivable en I, y

    Dadas dos soluciones u: J ⊂ R → R y v: I ⊂ R → R, u es llamada una extensión de v si I ⊂ J, y

    Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general.
    Una solución general de una ecuación de orden n es una solución que contiene n variables arbitrarias, correspondientes a n constante de integración. Una solución particular es derivada de la solución general mediante la fijación de valores particulares para las constantes, a menudo elegidas para cumplir condiciones iniciales o boundary conditions. Una solución singular es una solución que no puede ser derivada de la solución general.
    Tipos de EDOs y forma de resolución
    Existen diversos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias, cada una con una forma de resolución distinta; para clasificarlas, hay que hacer la diferencia entre ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones de orden superior (ya que las primeras son, por lo general, de más fácil resolución).
    Existencia y unicidad de soluciones
    El teorema de Peano-Picard garantiza la existencia de una solución y su unicidad para toda ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes continuos en un intervalo tiene solución única en dicho intervalo. Para el caso de ecuaciones diferenciales no-lineales no existen resultados análogos al de Peano-Picard.
    El teorema de Peano-Picard demuestra la existencia mediante una demostración constructiva, para un sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Puesto que toda ecuación diferencial lineal de orden arbitrario puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, se sigue del teorema de Peano-Picard la existencia y unicidad de la solución. La idea del teorema es simple construye una sucesión de Cauchy funciones cuyo límite es precisamente la solución del sistema. La demostración de la unicidad por otra parte resulta trivial.
    Soluciones analíticas
    Existen métodos de resolución generales para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que permiten encontrar soluciones analíticas. En particular si los coeficientes de la ecuación lineal son constantes o periódicos la solución es casi siempre fácil de construir. Para coeficientes no constantes o no periódicos, pero que son desarrollables en serie de Taylor o serie de Laurent es aplicable con ciertas restricciones el método de Frobenius. Otra posibilidad es reducir una ecuación diferencial lineal de orden n a un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
    Para las ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales no existen métodos generales.
    Soluciones numéricas
    Algunos de los métodos de solución numérica de ecuaciones diferenciales son el método de Runge-Kutta, los métodos multipaso y los métodos de extrapolación.
    Ecuación diferencial ordinaria de primer orden
    La condición inicial se expresa de la siguiente forma:

    Donde es la condición inicial.
    Entre los tipos de EDOs de primer orden se encuentran:
    Ecuación de variables separables
    Son EDOs de la forma:

    En donde es posible "despejar" todos los términos con la variable dependiente en función de la variable independiente, quedando ahora la ecuación:

    En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación

    De donde es posible obtener la solución
    Ecuación diferencial exacta
    Una ecuación de la forma:

    Se dice exacta si existe una función F que cumpla:

    Y

    Su solución es entonces:

    • Ecuación de Coeficientes Homogéneos (llamada comúnmente homogénea).
    Ecuación diferencial lineal
    Una ecuación diferencial es lineal si presenta la forma:

    Y que tienen por solución:

    Como se puede apreciar, esta ecuación es una ecuación diferencial de Bernoulli, con n=0.
    Ecuación diferencial de Bernoulli
    Una ecuación diferencial de Bernoulli, que es a su vez una generalización de la ecuación diferencial lineal, fue formulada por Jakob Bernoulli y resuelta por su hermano, Johann Bernoulli y presenta la forma:

    En la cual, si se hace la sustitución z = y1 − n, la ecuación se transforma en una ecuación lineal con z como variable dependiente, resolviéndose de manera análoga.
    Ecuación diferencial de Riccati
    Una ecuación diferencial tiene la forma de la introducida por Jacobo Francesco Riccati cuando presenta la estructura:

    Para resolverla, se debe hacer la sustitución , donde yp es una solución particular cualquiera de la ecuación.
    Ecuación diferencial de Lagrange
    Una ecuación diferencial de Lagrange presenta la forma:

    Resolviéndose con la sustitución y' = p, obteniéndose una solución general y una solución particular.
    Ecuación diferencial de Clairaut
    Una ecuación diferencial de Clairaut, llamada así en honor a Alexis-Claude Clairaut, tiene la forma:

    Como se puede apreciar, esta ecuación es una forma particular de la ecuación diferencial de Lagrange, con g(y') = y', por lo cual, su resolución es análoga a la anterior.
    Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
    Muchos problemas físicos importantes tanto en mecánica como en electromagnetismo conllevan la resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden.
    Ecuación lineal con coeficientes constantes
    La ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma:

    La resolución de esta ecuación depende de las raíces del polinomio característico:

    En función de como sean las raíces de dicho polinomio se distinguen tres casos posibles:
    • Caso 1: dos raíces reales y distintas , en este caso la solución general tiene la forma:

    • Caso 2: dos raíces reales e iguales , en este caso la solución general tiene la forma:

    • Caso 3: dos raíces complejas conjugadas , en este caso la solución general tiene la forma:

    El último término de esta última ecuación está relacionado con la integral de Duhamel.
    Ecuación diferencial de Euler o de Cauchy
    Esta ecuación tiene la forma:

    Y puede resolverse mediante haciendo el cambio de variable que reduce la ecuación anterior a una ecuación de coeficientes constantes resoluble por los métodos de la sección anterior:

    Ecuaciones de Bessel
    La ecuación diferencial de Bessel, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas cilíndricas. Dicha ecuación tiene la forma:

    Esta ecuación es resoluble mediante las llamadas funciones de Bessel:

    Además de esta ecuación existe otra ecuación resoluble mediante funciones de Bessel. La ecuación diferencial de Bessel modificada, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas cilíndricas Dicha ecuación tiene la forma:

    Cuya solución viene dada por:

    Ecuación de Legendre
    La ecuación diferencial de Legendre, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas esféricas. La ecuación tiene la forma:

    Cuando n es un entero una de las dos soluciones independientes que conforman la solución general de la ecuación anterior es el polinomio de Legendre de grado n:

    La solución general puede expresarse en la forma:
    , o bien,
    Donde:

    , y
    Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior
    Ecuación lineal de orden n con coeficientes constantes
    La ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes es de la siguiente forma:

    Donde los términos representan constantes En el caso homogéneo cuando el segundo miembro es idénticamente nulo, las soluciones de esta ecuación se pueden obtener a partir de la raíces del polinomio característico de la ecuación:

    En el caso de que todas las raíces sean diferentes la solución viene dada por:

    En el caso de que existan varias raíces repetidas, siendo mi la multiplicidad de la raíz i-ésima, la solución es de la forma:

    Las multiplicidades de cada raíz son el exponente de la siguiente descomposición:

    Ecuación diferenciales parciales.
    Una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x, y, z, t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.
    •
    Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser:

    Donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es:

    Donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es

    Que tiene la siguiente solución

    Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de esta forma se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función f(y) puede determinarse si u se especifica sobre la línea x = 0.
    Notación y ejemplos
    En las ecuaciones en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub-índices (Notación tensorial). Esto es:

    Especialmente en la fisica, matematica, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como para las derivadas espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la ecuación de onda (véase más abajo) como
    (Notación matemática)
    (Notación física)
    Solución general y solución completa
    Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas.
    Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en el ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.
    Existencia y unicidad
    Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el teorema de Picard-Lindelöf, el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales está lejos de estar satisfactoriamente resuelto. Aunque existe un teorema general, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, que afirma que para una EDP que es analítica en la función incógnita y sus derivadas tiene una única solución analítica. Aunque este resultado que parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones, existen ejemplos de EDP de primer orden cuyos coeficientes tienen derivadas de cualquier orden (aunque sin ser analíticas) pero que no tienen solución.[1] Incluso si la solución de una EDP existe y es única, ésta puede tener propiedades indeseables.
    Un ejemplo de comportamiento patológico es la secuencia de problemas de cauchy dependientes del parámetro n para la ecuación de laplace:

    Con condiciones iniciales

    Donde n es un entero. La derivada de u con respecto a y se aproxima a 0 uniformemente en x a medida que n se incrementa, pero la solución es:

    Esta solución se aproxima a infinito si nx no es un entero múltiplo de π para cualquier valor de y. El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se denomina mal propuesto o no bien definido, puesto que la solución no depende continuamente de los datos del problema. Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las aplicaciones físicas.
    Clasificación de las EDP de segundo orden
    Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos:
    Ecuación Nombre Tipo
    Laplace Elíptica
    Onda Hiperbólica
    Difusión Parabólicas
    Helmholtz Elíptica
    Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:

    • se dice que es elíptica si la matriz tiene un determinante mayor a 0.
    • se dice que es parabólica si la matriz tiene un determinante igual a 0.
    • se dice que es hiperbólica si la matriz tiene un determinante menor a 0.
    EDP de orden superior
    Si bien las EDP de segundo orden rigen una inmensa cantidad de fenómenos físicos, otra cantidad no tan grande es regida por EDP de órdenes superiores, como ejemplos podemos citar:
    • Flexión mecánica de una lamina elástica:

    • Vibración flexional de una viga:

    Conclusión.
    Después de haber presentado este tema lo que puedo acotar es que es sumamente amplio y que de acuerdo a la investigación previa abarca no solamente la matemática sino que también otras ramas, es decir que el tema en cuestión es de suma importancia. A manera personal pienso que este informe es simplemente para ayudarnos o mejor dicho a que tengamos o conozcamos mejor sobre el tema, a que abarquemos mas sobre la información y que podamos poner en practica en dichos ejercicios que nos presenta nuestro profe de matemática, debo reconocer que si leemos mas y practicamos mucho mas, llegamos a entender y a ejecutar todo tipo de ejercicio sobre este tema. Espero que lo presentado le haya sido de su agrado, porque a usted le ayuda a refrescar lo ya visto y a nosotros a que empecemos a jalarnos los cabellos, sin nada más que agregar o comentar por ahora me despido de usted atentamente su alumna………..

    Bibliografía.
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    • Hans Lewy (1957) An example of a smooth linear partial differential equation without solution. Annals of Mathematics, 2nd Series, 66(1),155-158.
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    • José Ignacio Aranda Iriarte (2007). apuntes de ecuaciones diferenciales I. Universidad Complutense de Madrid.
    • José Ignacio Aranda Iriarte (2008). apuntes de ecuaciones diferenciales II (EDPs). Universidad Complutense de Madrid.

17. SAVERI JUAN 14 jun 2010 - 09:51 PM

    REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
    MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
    UNIVERSIDAD NACIONAL POLITECNICA EXPERIMENTAL
    DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA
    NUCLEO CARABOBO – EXT. – LA ISABELICA

    Integrantes: RIVAS RUBERT
    C.IV_12.102.157
    SAVERI JUAN
    C.I.V_13.898.693
    ZAPATA HENRY
    C.I.V_11.777.463

    VALENCIA JUNIO 2010
    ECUACIONES DIFERENCIALES

    Las primeras y más sencillas ecuaciones diferenciales fueron resueltas en el siglo XVII por Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli en problemas de Geometría y Mecánica. Estos primeros descubrimientos hicieron creer que las soluciones de todas las ecuaciones diferenciales originadas en problemas geométricos y físicos podrían expresarse por medio de las funciones elementales del Cálculo. Por ello gran parte de los primeros esfuerzos fueron orientados al desarrollo de técnicas ingeniosas para resolver ecuaciones diferenciales por medio de recursos sencillos aplicados, tan sólo un número finito de veces, a las funciones ordinarias del Cálculo.

    Durante el siglo XVIII, fueron desarrollados procedimientos más sistemáticos, principalmente por Euler, Lagrange y Laplace.

    Grandes Aportes:

    Newton:

    En 1671 Newton (1643-1729) trabajó sobre la teoría de “Fluxiones” (Una fluxión viene a ser la derivada de una “fluyente”, el cual es el nombre que Newton daba a un variable dependiente). Su investigación se relacionó con “Ecuaciones Fluxionales” que ahora llamaríamos ecuaciones diferenciales. Él dividió a las ecuaciones diferenciales en tres categorías.

    En la primera, estas tendrían a forma dy/dx = f(x) o dy/dx = f(y). En la segunda, tendrían la forma dy/dx = f(x, y). Y en la tercera categoría están las ecuaciones diferenciales parciales. El método de solución desarrollado por él fue el de series de potencias el cual consideró un método “universalmente válido”.

    Leibniz:

    El matemático y filósofo Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) también trabajó en ecuaciones diferenciales; encontró el método para las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

    Jakob Bernoulli:

    En 1690, Jakob Bernoulli (1654-1705) mostró que el problema de determinar la isócrona (curva vertical plana en la cual una partícula que se deslice sobre ella hasta el fondo tardará un tiempo fijo que no depende del punto inicial) es equivalente a resolver una ecuación diferencial de primer orden no lineal; él la resolvió por el método de variables separables (el método general sería enunciado por Leibniz). El artículo de Bernoulli se convirtió en una “milestone” en la historia del Cálculo.

    Milestone: “Hito”

    DEFINICION BASICA: Genéricamente, se llama ecuación diferencial a una ecuación que vincula un conjunto de variables independientes, un conjunto de funciones en dichas variables independientes y un conjunto de derivadas (ordinarias o parciales) de estas funciones

    Más precisamente, una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas totales o parciales de una función desconocida y:

    A) si aparece una sola variable independiente, las derivadas son derivadas ordinarias y la ecuación se denomina ecuación diferencial ordinaria.

    B) si aparecen dos o más variables independientes, las derivadas son derivadas parciales y la ecuación se llama ecuación en derivadas parciales.

    Ecuaciones diferenciales ordinarias

    Ecuación:

    Ejemplos, Ecuaciones diferenciales de primer orden:

    Ejemplos, Ecuaciones diferenciales de segundo orden:

    Ecuación:

    Ecuaciones diferenciales Homogéneas

    Ecuación:

    donde "P" y "Q" son funciones de "X".

    La solución de estas ecuaciones se obtiene haciendo , Z y U son funciones de x
    que deben determinarse por lo tanto:

    Determinamos "u" integrando la ecuación Resolviendo la ecuación anterior obtenemos que

    Integrando y sustituyendo en los valores anteriores obtenemos

    Ecuaciones diferenciales de orden superior

    Ecuación:

    Ejemplo:

18. Marielis Villegas, Yenifer Salas y Willi Azuaje 14 jun 2010 - 11:15 PM

    3er Semestre de Ing. Civil
    I-001-nocturno
    Integrantes:
    Yennifer Salas CI.: 19.933.399
    Willi Azuaje CI.: 14.463.030
    Marielis Villegas CI.: 18.470.412

    ECUACIONES DIFERENCIALES.
    Una ecuación es una igualdad condicional que se cumple sólo para las soluciones de la misma. Así, en una ecuación algebraica como x – 2 = 0, la igualdad sólo se cumple para x = 2.
    En forma similar, una ecuación diferencial, constituida por funciones y sus derivadas, es una igualdad que se cumple sólo para las funciones que son soluciones de la misma. Así, si tenemos f(x) = f’(x), la solución será la función exponencial “e elevado a la x”, ya que es la única función cuya derivada es igual a la función misma.
    Se dividen en:
    · Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
    · Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
    Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
    · es una ecuación diferencial ordinaria, donde es la variable dependiente, la variable independiente es la derivada de con respecto a .
    · La expresión es una ecuación en derivadas parciales.
    A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
    Orden de la ecuación
    El orden de la derivada más alta en una ecuación deferencial se llama orden de la ecuación
    Grado de la ecuación
    Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
    Ecuación diferencial lineal
    Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
    · Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
    · En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
    · Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
    Ejemplos:
    · es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.
    · es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
    · es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
    Usos
    Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
    · En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

    Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
    · La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

    Donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.
    Solución de una ecuación diferencial
    Tipos de soluciones
    Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
    1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc.). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
    2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
    3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

    RESEÑA HISTÓRICA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.
    Matemáticos que hicieron aportes a la Teoría de las Ecuaciones Diferenciales:
    · Niels Abel
    El matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) hizo aportes en ecuaciones integrales, funciones elípticas, álgebra (probó que las ecuaciones polinómicas de quinto grado no tienen soluciones exactas. Identidad de Abel
    · Daniel Bernoulli
    El suizo Daniel Bernoulli (1700-1792) hace aportes en dinámica de fluidos (principio de Bernoulli), probabilidad, mecánica (incluyendo el problema de la cuerda vibrante).
    · Jacques Bernoulli
    Jacques Bernoulli (1654-1705), suizo, hace aportes a la mecánica, geometría, astronomía, probabilidad, cálculo de variaciones y problemas de la braquistócrona. La ecuación de Bernoulli fue propuesta por él en 1695 pero resuelta independientemente por Leibniz y su hermano Jean. Cadena colgante (catenaria)
    · Jean Bernoulli
    Jean Bernoulli (1667-1748), matemático suizo, resuelve problemas de trayectorias ortogonales en 1698, mecánica, problema tautócrono; propuso y resolvió el problema de la baquistrócona (también resuelto por su hermano Jacques). Introdujo la idea del factor integrante.
    · Friedrich Bessel
    Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), alemán, hace aportes en astronomía, calculó la órbita del cometa Halley; introdujo las funciones de Bessel y en 1817 estudió el trabajo de Kepler.
    · Augustin Cauchy
    El francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) hace aportes en cálculo de probabilidades, cálculo de variaciones, óptica, astronomía, mecánica, elasticidad, análisis matemático. Creó la teoría de variable compleja (1820) y aplicó su teoría a las ecuaciones diferenciales.
    · Pafnuti Chebyshev
    El ruso Pafnuti Liwovich Chebyshev (1821-1894) trabaja en teoría de números (números primos), probabilidad, funciones ortogonales, polinomios de Chebyshev.
    · Alexis Clairaut
    El francés Alexis Claude Clairaut (1713-1765) hace aportes a la geometría, establece la ecuación de Clairaut y soluciones singulares (1734), astronomía, el problema de los 3 cuerpos, calculó con precisión (1759) el perihelio del cometa Halley.
    · Jean D’Alembert
    El francés Jean le Rond D’Alembert (1717-1783) hace aportes a la mecánica incluyendo el problema de la cuerda vibrante. Dinámica de fluidos, ecuaciones diferenciales parciales.

    · Peter Dirchlet
    Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), alemán, hace aportes en teoría de números, mecánica de fluidos, análisis matemático; estableció condiciones para la convergencia de las series de Fourier.
    · Leonhard Euler
    Leonhard Euler (1707-1783), suizo, fue el más prolífico de los matemáticos del siglo XVIII a pesar de sus impedimentos físicos (perdió un ojo en 1735 y quedó totalmente ciego en 1768), hace aportes a la mecánica, análisis matemático, teoría de números, geometría, dinámica de fluidos, astronomía, óptica, desarrolló (1739) la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales, identidades de Euler, inventó la función gamma.
    · Joseph Fourier
    El francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) descubre las series de Fourier en las investigaciones sobre el flujo de calor en 1822; acompañó a Napoleón en la campaña de Egipto (1798).
    · Ferdinand Frobenius
    El alemán Ferdinand George Frobenius (1849-1917) estudia los métodos de series para resolver ecuaciones diferenciales; aportes en álgebra y teoría de grupos.
    · Karl Gauss
    El alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855) fue uno de los grandes matemáticos del siglo XIX. Hace aportes a la teoría de números, astronomía, electricidad y magnetismo, óptica, geometría, ecuación hipergeométrica.
    · George Green
    El inglés George Green (1793-1841) hace aportes a la física matemática, óptica, electricidad y magnetismo, originó el término “potencial”, función de Green.
    · Oliver Heaviside
    El inglés Oliver Heaviside (1850-1925) hace aportes al electromagnetismo, sugirió la presencia de la capa atmosférica ahora llamada ionosfera; métodos operacionales no rigurosos para resolver ecuaciones diferenciales.
    · Charles Hermite
    El francés Charles Hermite (1822-1901) estudia la teoría de números, prueba (1873) la trascendencia de e, funciones elípticas, álgebra, polinomios de Hermite.
    · David Hilbert
    Matemático alemán, David Hilbert (1862-1943) hace aportes al álgebra, ecuaciones integrales, cálculo de variaciones, lógica, espacio de Hilbert, propuso muchos problemas, algunos todavía sin solución.
    · Christian Huygens
    Matemático, astrónomo y físico holandés, Christian Huygens (1629-1695) estudia vibraciones, óptica, teoría matemática de ondas. Construye un reloj de péndulo basado en la cicloide (1673), astronomía.
    · Johannes Kepler
    El alemán Johannes Kepler (1571-1630) hace aportes a la geometría, especialmente encontrando áreas que ayudaron a la formulación de sus 3 leyes del movimiento planetario.
    · Joseph Lagrange
    El francés Joseph Louis Lagrange (1736-1813) fue uno de los grandes matemáticos del siglo XVIII. Establece la mecánica analítica, incluyendo el problema de los 3 cuerpos, acústica, cálculo de variaciones, teoría de números, método de variación de parámetros (1774), ecuación adjunta, álgebra (teoría de grupos), ecuaciones diferenciales parciales.
    · Edmond Laguerre
    El francés Edmond Laguerre (1834-1886) hace aportes al análisis matemático, variable compleja, funciones analíticas, polinomios de Laguerre.
    · Pierre de Laplace
    El francés Pierre Simón de Laplace (1749-1827) hace aportes a la mecánica, astronomía, ecuaciones diferenciales parciales, ecuación de Laplace descubierta alrededor de 1787, probabilidad.
    · Adrien Legendre
    El francés Adrien Marie Legendre (1752-1833) hace aportes en teoría de números, funciones elípticas, astronomía, geometría, funciones de Legendre.
    · Gottfried Leibniz
    El alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fue el codescubridor, con Newton, del cálculo. Análisis matemático, lógica, filosofía, regla de Leibniz, primero en resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, separables, homogéneas y lineales.
    · Joseph Liouville
    El francés Joseph Liouville (1809-1882) estudia la teoría de números (números trascendentes), variable compleja, problemas de Sturm-Liouville. Ecuaciones integrales.
    · Isaac Newton
    El inglés Isaac Newton (1642-1727) fue codescubridor del cálculo junto a Leibniz. Hace aportes a la mecánica, leyes del movimiento y ley de gravitación universal, flujo de calor, óptica, análisis matemático, métodos de series para resolver ecuaciones diferenciales (1671).
    · Marc Parseval
    El francés Marc Antoine Parseval (1755-1836) hace aportes al análisis matemático, identidad de Parseval en conexión con la teoría de las series de Fourier.
    · Charles Picard
    El francés Charles Émile Picard (1856-1941) hace aportes a la geometría algebraica, topología, variable compleja, método de Picard y teoremas de existencia-unicidad para ecuaciones diferenciales.
    · Henri Poincaré
    El francés Jules Henri Poincaré (1858-1912) hace aportes a las ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad; topología, mecánica celeste incluyendo el problema de los 3 cuerpos, geometría no euclideana, filosofía de la ciencia.
    · Simeón Poisson
    El francés Simeón Denis Poisson (1781-1840) fue un físico matemático que hace aportes a la electricidad y el magnetismo, ecuación de Poisson, fórmula de Poisson, probabilidad, cálculo de variaciones, astronomía.
    · Jacopo Riccati
    El italiano Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) hace aportes al análisis matemático, ecuación de Riccati resuelta en 1723 por Daniel Bernoulli y otros miembros más jóvenes de su familia.
    · Bernhard Riemann
    El alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) fue uno de los más grandes matemáticos del siglo XIX (alumno de Gauss, Jacobi y Dirichlet). Variable compleja, geometría no euclideana, funciones elípticas, ecuaciones diferenciales parciales.
    · Olinde Rodríguez
    Matemático francés, Olinde Rodríguez (1794-1851) hace aportes al análisis matemático, fórmula de Rodríguez.
    · Hermann Schwarz
    El alemán Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) estudia cálculo de variaciones, teoremas de existencia para ecuaciones diferenciales parciales, desigualdad de Schwarz.
    · Jacques Sturm
    El suizo Jacques Charles François Sturm hace aportes al álgebra (número de raíces reales de ecuaciones algebraicas), geometría, mecánica de fluidos, acústica, problemas de Sturm-Liouville.
    · Brook Taylor
    El inglés Brook Taylor (1685-1731) hace aportes al análisis matemático, método de series de Taylor, soluciones singulares, vibraciones de resortes, movimiento de proyectiles, óptica.
    · Hoene Wronski
    Matemático polaco, Josef Hoene-Wronski (1778-1853) estudia determinantes, introduce el wronskiano, filosofía.1

19. Wilmar Piña 14 jun 2010 - 11:20 PM

    Republica Bolivariana De Venezuela
    Ministerio Del Poder Popular Para La Defensa.
    Universidad Nacional Experimental Politecnica
    De La Fuerza Armada.
    (U.N.E.F.A)
    Prof: Bachiller:
    Lic. Javier R. Wilmar P
    3 S. Ing. Civil C.I:19.295.939

    ECUACIONES DIFERENCIALES

    Las ecuaciones diferenciales surgen en forma espontánea cuando se
    quieren resolver problemas físicos, geométricos, astronómicos, químicos,
    etc. También en ciencias biológicas, económicas y sociales. Permiten
    formular planteos matemáticos que primero idealizan y luego clarifican los
    problemas que se desean resolver.

    Reseña histórica
    Las primeras y más sencillas ecuaciones diferenciales fueron resueltas en
    el siglo XVII por Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli en problemas de
    Geometría y Mecánica. Estos primeros descubrimientos hicieron creer que
    las soluciones de todas las ecuaciones diferenciales originadas en problemas
    geométricos y físicos podrían expresarse por medio de las funciones
    elementales del Cálculo. Por ello gran parte de los primeros esfuerzos
    fueron orientados al desarrollo de técnicas ingeniosas para resolver
    ecuaciones diferenciales por medio de recursos sencillos aplicados, tan sólo
    un número finito de veces, a las funciones ordinarias del Cálculo.
    Durante el siglo XVIII, fueron desarrollados procedimientos más
    sistemáticos, principalmente por Euler, Lagrange y Laplace.
    En 1820, Cauchy obtuvo el primer “teorema de existencia” para las
    ecuaciones diferenciales, pero en 1841, José Liouville, demostró que tal
    condición no siempre era posible con medios elementales.

    Una ecuación diferencial
    es aquella ecuación que contiene diferenciales o derivadas de una o más variables.

    Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.

    Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.

    Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.

    Ecuaciones Diferenciales parciales: En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo.

    Ecuaciones diferenciales Ordinaria
    Una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación diferencial que depende de un solo variable independiente.
    Por ejemplo
    dy/dt=ky(t) es una ecuación diferencial Ordinaria porque y (la variable independiente) depende sólo de t (variable independiente)
    Ecuaciones Diferenciales Parciales
    Una ecuación diferencial parcial es la ecuación diferencial en la que el variable dependiente depende de dos o más variables independientes.
    Por ejemplo: d al 2 f+d al 2 f entre dx al 2 +dx al 2=0
    La ecuación de Laplace es una ecuación diferencial parcial f porque depende de dos variables independientes X e Y.
    Orden de una ecuación diferencial
    El orden de un diferencial es el orden de la derivada más alta de entrar en la ecuación.
    Por ejemplo: m d al 2 x /dt al 2=-kx La ecuación se llama una orden de la ecuación diferencial segundo porque se trata de segundas derivadas.
    Ecuación diferencial lineal
    Una ecuación diferencial de primer orden es lineal si se puede escribir en la forma dy/dt+g(t)y=r(t) donde g (t) y r (t) son funciones arbitrarias de t.
    Por ejemplo dy/dt=t al 2 y + cos (t)
    es de primer orden ecuación diferencial lineal en g(t)=t al 2 y r(t)=cos(t)
    Ecuación diferencial no lineal
    Es una ecuación diferencial cuya lado derecho no es una función lineal de la variable dependiente.
    Por ejemplo: dP/ dt=k(1-P/N) P

    La ecuación diferencial homogénea
    Un orden lineal ecuación diferencial de primer es homogénea si su mano derecha es cero, es decir R(T)=0
    dy/dt+g(t)y=0
    Por ejemplo: dy/dt+ky(t)=0 , Donde k es una constante, homogénea.
    La ecuación diferencial no homogénea
    Un orden lineal de la ecuación diferencial no homogénea primero es si su mano derecha no es cero que es r(t)=0
    dy/dt+g(t)y=r(t) .

    Por ejemplo dy/dt+2y(t)=sin(2t) es no homogénea.

    Las Ecuaciones Diferenciales
    son un instrumento importante en varios campos; especialmente los referentes a la ingeniería; ya que permiten el modelado de fenómenos de la naturaleza y problemas reales; brindando soluciones que ayudan a comprender su comportamiento. Esta es la razón por la cual también en nuestra carrera su función es vital.

20. yimmy florez 14 jun 2010 - 11:31 PM

    Yimmy Florez C.I. 15.242.747
    Reseña histórica de las Ecuaciones Diferenciales:

    Una ecuación es una igualdad condicional que se cumple sólo para las soluciones de la misma. Así, en una ecuación algebraica como x – 2 = 0, la igualdad sólo se cumple para x = 2.
    En forma similar, una ecuación diferencial, constituida por funciones y sus derivadas, es una igualdad que se cumple sólo para las funciones que son soluciones de la misma. Así, si tenemos f(x) = f’(x), la solución será la función exponencial “e elevado a la x”, ya que es la única función cuya derivada es igual a la función misma.
    El análisis matemático del comportamiento de la transmisión de ondas electromagnéticas se realizó gracias a los trabajos de James Clerk Maxwell, Lord Kelvin y, principalmente, Oliver Heaviside.
    En 1855, Lord Kelvin formuló un modelo de difusión para la corriente en un cable submarino. Este modelo predijo correctamente el pobre desempeño que tendría el cable submarino transatlántico de 1858. En 1885, Heaviside publicó los primeros documentos sobre el estudio de la línea de transmisión, en los que describía su análisis de propagación en cables y la forma actual de las ecuaciones del telégrafo.1

    Conceptos Básicos:

    Orden de la ecuación
    El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación
    Grado de la ecuación
    Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómicas, de no ser así se considera que no tiene grado.
    Ecuación diferencial lineal
    Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
    Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
    En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
    Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
    Ejemplos:
    es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.
    es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
    es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
    Usos
    Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
    En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

    Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
    La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

    donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.
    Solución de una ecuación diferencial:
    Tipos de soluciones
    Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
    Solución general:
    Una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc.). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
    Solución particular:
    Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
    Solución singular:
    Una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general
    Tipos:
    Ecuación diferencial ordinaria:
    Las matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.
    Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.
    Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.
    Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.
    Ecuación en derivadas parciales
    En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.
    Notación y ejemplos
    En las ecuaciones en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub.-índices (Notación tensorial). Esto es:

    Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como para las derivadas espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como
    (Notación matemática)
    (Notación física)

    APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN:
    Aplicaciones a la Biología
    Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde os microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación.
    Crecimiento Biológico
    Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era:
    dy / dt = y
    con solución
    y = ce
    Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento ocurre si > 0 mientras que el decaimiento (o encogimiento) ocurre sí 0 entonces tenemos que y!" si t!" , así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. Esto esta en conflicto con la realidad, ya que después de transcurrir cierto tiempo sabemos que una célula o individuo deja de crecer, habiendo conseguido el tamaño máximo.
    Formulación Matemática
    Supongamos que “y” denota la altura de un ser humano (aunque como ya se ha mencionado, esto también puede referirse a otras cosas tales como el tamaño de las células). Tendríamos entonces:
    dy / dx = F(y) y = Yo para t=0
    Donde “Yo” representa la altura en algún tiempo especificado t = 0, y donde F es una función apropiada pero aun desconocida. Puesto que la función lineal F(y) = y no es apropiada, ensayemos como una aproximación de orden superior dada por la función cuadrática F(y) = y - y² , y = Yo para t = 0.
    Puesto que la ecuación F(y) = y - y² es de variables separables, tenemos
    dy / y - y² = dt ó " dy / y ( - y) = t + c
    esto es, "1/ [1/y + / - y]dy = t + c
    = 1/ [ln y - ln ( - y)] = t + c
    Usando la condición y resolviendo en y = Yo en t = 0 se obtiene que:
    Y = / _ _
    1 + [ / / Yo - 1] e
    Si tomamos el limite de la ecuación anterior tenemos que: Cuando t!", vemos, ya que > 0, que:
    Ymax = lim Y = /
    t!"
    Por simple álgebra encontramos:
    Ymax = lim Y = Y1(Yo - 2YoY2 + Y1Y2)
    t!" Y1² - YoY2
    Ejemplo:
    Las alturas promedios de los niños varones de varias edades se muestran en la siguiente tabla. Use estos datos para predecir la altura media de varones adultos con pleno crecimiento.
    Edad Altura (pul)
    Nacimiento 19.4
    1 año 31.3
    2 años 34.5
    3 años 37.2
    4 años 40.3
    5 años 43.9
    6 años 48.1
    7 años 52.5
    8 años 56.8
    Solución: Para cubrir en conjunto completo de datos dado en la tabla, sea t = 0,1,2 las edades al nacimiento, 4 años y 8 años, respectivamente. Así tenemos que Yo = 19.4 Y1 = 40.3 Y2 = 56.8.
    Sustituyendo estos valores en la ecuación de Ymax se obtiene el valor de 66.9 pul. o 5 pies con 7 pul. como la altura media máxima requerida.
    Problemas de Epidemiología:
    Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología K, y si un porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia.
    Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algo complicados; para ello presentar un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población grande pero finita. Supongamos entonces que nos restringimos a los estudiantes de un colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largo y que no se tiene acceso a otras comunidades. Supondremos que hay solo dos tipos de estudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, y otros que no tienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primer contacto con un estudiante infectado. Deseamos obtener una formula para el numero de estudiantes infectados en cualquier tiempo, dado que inicialmente hay un numero especificado de estudiantes infectados.
    Formulación Matemática
    Supónganse que en cualquier tiempo t hay Ni estudiantes infectados y Nu estudiantes no infectados. Entonces si N es él numero total de estudiantes, asumido constante, tenemos
    N = Ni + Nu
    La tasa de cambio en él numero de estudiantes infectados esta dada entonces por la derivada dNi / dt. Esta derivada debería depender de alguna manera de Ni y así de Nu en virtud de la formula N = Ni + Nu.
    Asumiendo que dNi / dt, como una aproximación, es una función cuadrática de N, tenemos entonces que:
    dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni²
    Donde Ao, A1, A2 son constantes. Ahora esperaríamos que la tasa de cambio de Ni, esto es, dNi / dt sea cero donde Ni = 0, esto es, no hay estudiantes infectados, y donde Ni = N, esto es, todos los estudiantes estén infectados. Entonces de la ultima formulación hecha tenemos que: Ao = 0 y A1N + A2N² = 0 ó A2 = -A1/N
    Así que de: dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni² se convierte en: dNi / dt = kNi (N - Ni). Donde k = A1/N es una constante. Las condiciones iniciales en t = 0, hay No estudiantes infectados, entonces: Ni = No en T = 0. De todo esto podemos deducir que:
    Ni = N _
    1 + (N/No - 1)e
    Aplicaciones a la Economía
    En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra mucho factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.
    Oferta y Demanda
    Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada ( por ejemplo un barril de petróleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p(t) es el precio en el tiempo t.
    El numero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sino también de la dirección en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En símbolos esta dependencia de D en p(t) y p´(t) puede escribirse:
    D = (p(t)),p´(t)
    Llamamos la función de demanda.
    Similarmente, el numero de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por S(t), o brevemente S. Como en el caso de la demanda, S también depende de p(t) y p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir mas, la oferta disponible tiende a incrementar anticipándose a precios más altos. En símbolo esta dependencia de S en p(t) y p´(t) puede escribirse:
    S = g(p(t), p´(t)
    Llamamos g a la función oferta.
    Principio económico de la oferta y la demanda
    El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), esta determinada por la condición de que la demanda en t sea igual a la oferta en t, en forma matemática esto quiere decir:
    (p(t),p´(t)) = g(p(t),p´(t))
    Las formas que debería tener y g son las siguientes:
    D = (p(t),p´(t)) = A1p(t) + A2p´(t) + A3
    S = g(p(t),p´(t)) = B1p(t) + B2p´(t) + B3
    Donde A´S y B´S son constantes, en ese caso la formula matemática se transforma a la siguiente expresión:
    A1p(t) + A2p´(t) + A3 = B1p(t) +B2p´(t) + B3
    (A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 - A3
    Asumamos que A1"B1, A2"B2 y A3"B3. Entonces podríamos escribir la formula como:
    p´(t) + (A1-B1/A2-B2)p(t) = B3-A3/A2-B2
    Resolviendo esta ecuación lineal de primer orden sujeta a p = Po en t = 0 da como resultado:
    p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e
    Caso I: Si Po = (B3-A3)/(A1-B1) y p(t)=Po entonces, los precios permanecen constantes en todo tiempo.
    Caso II: Si (A1-B1)/A2-B2)>0 entonces se tendría una estabilidad de precios.
    Caso III: Si (A1-B1)/A2-B2) (B3-A3)/A1-B1),esto es, tenemos inflación continuada o inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar hasta que los factores económicos cambien, lo cual puede resultar en un cambio a la ecuación (A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 -A3.
    Ejemplo:
    La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de unidades por D = 48 - 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) + 4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien es 10 unidades, encuentre (a) El precio en cualquier tiempo t > 0 y (b) Si hay estabilidad o inestabilidad de precio.
    Solución: El precio p(t) esta determinado al igualar la oferta con la demanda, esto es,
    48 - 2p(t) + 3p´(t) = 30 + p(t) + 4p´(t) = p´(t) + 3 p(t) = 18
    Resolviendo la ecuación del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da como resultado: p(t) = 6 + 4e
    De este resultado vemos que, sí t!", p!6. Por tanto tenemos estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es de 6 unidades.
    Inventarios:
    Si la oferta es mayor a la demanda, entonces los productores tiene una cierta cantidad de bien en su posesión, la cual se llama inventario del bien, el cual esperan vender. Por otro lado, si la demanda es mayor que la oferta, entonces los productores deben adquirir inventario.
    Formulación Matemática
    Sea q(t) la cantidad o numero de unidades de un bien C disponible en tiempo t. Entonces q(t + "t) = q(t) + "q es la cantidad disponible en tiempo t + "t. Así tenemos que:
    Cantidad acumulada en intervalo t a t + "t = "q = q(t + "t) - q(t).
    S = numero de unidades de C ofrecidas de tiempo por los productores en tiempo t.
    D = numero de unidades de C demandadas por unidad de tiempo por los consumidores en tiempo t.
    Entonces el numero de unidades ofrecidas por los productores y demandas por los consumidores entre t y t +"t están dados aproximadamente por S"t y D"t respectivamente, donde los resultados son precisos excepto por términos que involucran ("t)² y mayores.
    Así, cantidad acumulada en el intervalo t a t + "t es igual a:
    S"t - D"t + términos con ("t)² o mayores.
    Así "q/"t = S - D + términos con ("t)² o mayores.
    Tomando el limite cuando "t!0, dq/dt = S - D.
    De esta última ecuación podremos decir que servirá de base para el posterior análisis sobre precios. Como una ilustración, supongamos que un productor desea proteger sus utilidades al requerir que la tasa a la cual incrementara el precio sea proporcional a la tasa a la cual declina el inventario. En ese caso tenemos que:
    dp/dt = - dq/dt
    Donde > 0 es la constante de proporcionalidad que se asume conocida, de modo que usando la ecuación dp/dt = - (S - D). Puesto que S y D se pueden expresar en términos de p, la ecuación dp/dt = - (S - D) es una ecuación diferencial para p.
    Ejemplo:
    Suponga que la oferta y la demanda están dadas en términos de precios p por S = 60 + 2P, D = 120 - 3P, respectivamente, la constante de proporcionalidad es = 4. Escriba la ecuación diferencial para p y determine el precio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8 en t = 0
    Solución: de la formula dp/dt = - dq/dt la ecuación diferencial requerida para p es: dp/dt = -4(60 + 2P - 120 + 3p) o dp/dt + 20 p = 240
    resolviendo esta ultima ecuación diferencial tenemos que p = 12 + ce
    usando p = 8 en t = 0 da c = - 4 y así p = 12 - 4e
    Aplicaciones a la Química:
    Hay muchas aplicaciones de ecuaciones diferenciales a los procesos químicos. Algunas de estas serán indicadas en los siguientes ejemplos.

    Ejemplo:
    Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua salada en la cual están disueltas 5lb de sal. Si el agua salada esta conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.
    • Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.
    • ¿Cuanta sal está presente después de 10min?
    • ¿Cuanta sal está presente después de un tiempo largo?
    Formulación Matemática:
    Sea A el número de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego dA / dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y esta dada por:
    dA / dt = tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida
    Puesto que entran 2gal/min. conteniendo 3lb/gal de sal tenemos que la cantidad de sal que entra por minuto es:
    2gal / min. x 3 lb./gal = 6 lb./min. Lo cual es la tasa a la cual se gana sal. Puesto que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es A libras por 10gal. La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto,
    Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min.
    de: (dA / dt),(6 lb./min.) y (A lb./5min) tenemos que: dA / dt = 6 - A/5.
    Puesto que inicialmente hay 5lb. de sal, tenemos que A = 5 en t = 0. Así, la formulación matemática completa es:
    dA / dt =6 - A/5 A = 5 en t = 0
    Solución:
    Usando el método de separación de variables, tenemos:
    " (dA / 30 - A) = " (dt / 5) ó - ln (30 - A) = t / 5 + c
    Puesto que A = 5 en t = 0, c = - ln 25. Así,
    - ln (30 - A) = t/5 - ln 25 = ln[(30 - A)/25] = A = 30 - 25 e
    La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.
    Al final de los 10min. la cantidad de sal es A = 30 - 25 e ² = 26.6 lb.
    Después de un tiempo largo, esto es, cuando t!", vemos que A!30 lb., Esto también podría ser visto desde la ecuación diferencial haciendo dA / dt = 0, puesto que también A es una constante cuando se alcanza el equilibrio.
    Mezclas químicas:
    Ejemplo:
    Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere 2lb. de A por cada libra de B. Sí 10lb. de A y 20lb. de B están presentes inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20min. ; Encontrar la cantidad del químico C en cualquier tiempo.
    Formulación Matemática:
    Sea x la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas. Luego dx / dt es la tasa de su formación para formar x lb. de C, necesitamos (2x / 3lb.) de A y (x / 3lb.) de B, puesto que se necesita que el químico A sea el doble de B. Por tanto, la cantidad de A presente al tiempo t cuando se forman x lb. de C es 10 - 2x/3, y la cantidad de B en este tiempo es 20 - x/3. Por tanto:
    dx / dt = K [10 - (2x/3)] * [20 - (x/3)]; Donde K es la constante de la proporcionalidad. Esta ecuación puede escribirse de la siguiente manera: dx / dt = k[(15 - x) (60 - x)] donde k es otra constante. Hay dos condiciones. Puesto que el químico C inicialmente no está presente, tenemos x = 0 en t = 0. También x = 6 en t = 1/3. Necesitamos dos condiciones, una para determinar k, y la otra para determinar la constante arbitraria de la solución de la ecuación diferencial.
    La formulación completa es:
    dx / dt = k[(15 - x) (60 - x)] x = 0 en t = 0 ; x = 6 en t = 1/3
    solución:
    La separación de variables produce:
    "dx / [(15 - x) (60 - x)] = " k dt = kt + C1
    Ahora " dx / [(15 - x) (60 - x)] = " 1/45 [(1/15 - x) - (1/60 - x)] dx
    = 1/45 ln [(60 - x) / (15 - x)]; así podemos mostrar que:
    60 - x / 15 - x = C e
    Puesto que x = 0 en t = 0, encontramos c = 4. Así
    ( 60 - x ) / ( 15 - x ) = 4 e
    Puesto que x = 6 en t = 1/3, tenemos e = 3/2. Así, [(60 - x) / (15 - x)] = 4(e )³t = 4(3/2)³t ó x = 15 [ 1 - (2/3)³t]
    1 - (1/4)(2/3)³t
    Cuando t!", x!15lb.
    Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario:
    Considere una pieza de material de longitud indefinida acotada por dos planos paralelos A y B, como muestra la figura a.1. Asuma que el material es uniforme en todas sus propiedades, por ejemplo, calor específico, densidad, etc. Supóngase que los planos A y B se mantienen a 50°C y 100°C, respectivamente. Todo punto en la región entre A y B alcanza cierta temperatura que no cambia posteriormente. Así todos los puntos en el plano C en la mitad entre A y B estarán a 75°C; el plano E a 90°C. Cuando la temperatura en cada punto de un cuerpo no varia con el tiempo, decimos que prevalecen las condiciones de estado estacionario o que tenemos un flujo de calor en estado estacionario.

    Ejemplo:
    Un tubo largo de acero de conductividad térmica k = 015 unidades cgs, tiene un radio interior de 10 cm y un radio exterior de 20 cm. La superficie interna se mantiene a 20°C y la superficie exterior se mantiene a 50°C. (a) Encuentre la temperatura como una función de la distancia r del eje como de los cilindros concéntricos. (b) Encuentre la temperatura cuando r = 15 cm y (c) ¿Cuanto calor se pierde por minuto en la parte del tubo de 20m de largo?

    Formulación Matemática:
    Sabemos que las superficies isotérmicas son cilindros concéntricos con los cilindros dados. El área de tal superficie con radio r y longitud l es 2 rl. La distancia dn en este caso dr. Así, la ecuación q = - KA dU/dn puede escribirse como: q = - K(2 rl) dU/dr.
    Puesto que K = 0.15, l = 20 m = 2000 cm, tenemos que:
    q = - 600 r dU/dr.
    De esta ultima ecuación, q es por supuesto una constante. Las condiciones son U = 200°C en r = 10, U = 50°C en r = 20
    Solución:
    Separando las variables en q = - 600 r dU/dr. e integrando se obtiene:
    -600 U = q ln r + c
    Usando las condiciones U = 200°C en r = 10, U = 50°C en r = 20 tenemos - 600 (200) = q ln 10 + c, -600 (50) = q ln 20 + c de donde obtenemos q = 408.000, c = 1.317.000. Por tanto, de - 600 U = q ln r + c encontramos que U = 699 - 216 ln r.
    Si r = 15, encontramos por sustitución que U = 114°C. Del valor anterior de q, el cual está en calorías por segundo, es claro que la respuesta a la parte (c) es Q= 408.000 x 60cal/min. = 24.480.000cal/min.
    APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
    Aplicaciones a la física:
    Movimiento Armónico Simple:
    La Ley de Hooke:
    Supongamos que un cuerpo de masa M esta sujeto al extremo de un resorte flexible suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura 5.1b. Cuando M se reemplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto.
    Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb. alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,
    10 = k (1/2) implica que k = 20 lb./pie.
    Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. alarga el mismo resorte en 2/5 pie.

    Segunda Ley de Newton:
    Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:
    W = m . g

    En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geolibras (slugs) y g = 9.8 mt/s² , p80 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. Tal como se indica la figura 5.2b,la condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se desplaza de su posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la fuerza neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt². Suponiendo que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento vibratorio libre), entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitución:
    m d²x/dt² = - k (s + x) + mg
    = - kx + mg - ks = - kx
    Cero
    Ecuación Diferencial Del Movimiento Libre no Amortiguado:
    Dividiendo la ultima ecuación planteada entre la masa m, se obtiene la ecuación diferencial de segundoorden:
    d²x/dt² + k/m x = 0
    o bien d²x/dt² + ²x = 0
    En donde ² = k/m. Se dice que la ecuación d²x/dt² + ²x = 0 describe el movimiento armónico simple o movimiento vibratorio no amortiguado. Hay dos condiciones iniciales obvias asociadas con dicha ecuación:
    x(0) = , dx/dt% =
    %t = 0
    Que representa la magnitud del desplazamiento inicial y la velocidad inicial, respectivamente. Por ejemplo si > 0 y 0, se trata de una masa en reposo que se suelta desde un punto que está % %unidades arriba de la posición de equilibrio. Los demás casos son análogos.
    Solución y ecuación de movimiento:
    Para resolver la ecuación d²x/dt² + ²x = 0 observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar M² - w² = 0 son los números complejo M = i y Mi = - i. De esta forma se obtiene una solución general: x (t) = C1 cos t + C2 sen t.
    El periodo de las vibraciones libres descritas por la ultima ecuación general planteada es T = 2 / y la frecuencia es = 1/T = /2 . Por ejemplo, para x (t) = 2 cos 3t - 4 sen 3t el periodo es 2 /3 y la frecuencia es 3/2 . El primer numero indica que hay 3 ciclos de la grafica de cada 2 unidades; en otras palabras, la masa realiza 3/2 oscilaciones completas por unidad de tiempo. Además, se puede demostrar que el periodo 2 / es el intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). Finalmente, una vez que hemos determinado las constantes C1 y C2 en x (t) = C1 cos t + C2 sen t mediante las condiciones iniciales
    x(0) = , dx/dt% =
    %t = 0
    , Decimos que la solución particular resultante es la ecuación de movimiento.
    Ejemplo:
    Resolver e interpretar el problema de valor inicial:
    d²x/dt² + 16 x = 0
    x(0) = 10, dx/dt% = 0
    %t = 0
    Solución:
    Una formulación equivalente del problema es: se estira hacia abajo de un cuerpo que pende de un resorte hasta que esté 10 unidades bajo la posición de equilibrio y luego se le retiene hasta t = 0; se le suelta a continuación de manera que parta de un estado de reposo. Aplicando las condiciones iniciales a la solución:
    x (t) = C1 cos 4t + C2 sen 4t.
    Resulta x (0) = 10 = C1 . 1 + C2 . 0
    de modo que C1 = 10 y por lo tanto
    x (t) = 10 cos 4t + C2 sen 4t.
    dx/dt = 40 sen 4t + 4C2 cos 4t
    dx/dt% = 0 = 4C2 . 1
    %t = 0
    La ultima ecuación implica que C = 0 y por lo tanto la ecuación de movimiento es x (t) = 10 cos 4t.
    La solución muestra claramente que una vez que el sistema se pone en movimiento, permanece en tal estado, con la masa deslazándose alternadamente 10 unidades hacia cada lado de la posición de equilibrio x = 0. El periodo de oscilación es 2 /4 = /2 segundos.
    Ejemplo:
    Un cuerpo que pesa 2lb. se estira un resorte 6plg. Dicho cuerpo se suelta en t = 0 desde un punto que está 8plg bajo la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pie/seg. Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante.
    Solución:
    Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en pies: 6plg = 6/12 = 1/2 pie, 8plg = 8/12 = 2/3 pie. Además, debemos convertir las unidades de peso en unidades de masa. M = W/g
    Tenemos M = 2/32 = 1/16slug; Además, por la Ley de Hooke se tiene: 2 - k (1/2) lo que implica que k = 4lb/pie.
    Por consiguiente, se tiene: 1/16 d²x/dt² = -4x y d²x/dt² + 64x = 0.
    El desplazamiento y la velocidad iniciales están dados por :
    x(0) = 2/3, dx/dt% = - 4/3
    %t = 0
    En donde el signo negativo que aparece en la ultima condición en consecuencia de que a la masa se le da una velocidad inicial con dirección negativa, esto es, dirigida hacia arriba.
    Ahora bien, ² = 64, osea = 8, de modo que la solución general de la ecuación diferencial es:
    x (t) = C1 cos 8t + C2 sen 8t.
    Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuación tenemos que:
    x (0) = 2/3 = C1 . 1 + C2 . 0 (C1 = 2/3)
    x (t) = 2/3 cos 8t + 8C2 cos 8t
    x´(t) = - 16/3 sen 8t + 8C2 cos 8t
    x´(0) = - 4/3 = - 16/3 . 0 + 8C2 .1, (C = -1/6)
    Luego C2 = - 1/6. Por consiguiente, la ecuación de movimiento es:
    x (t) = 2/3 cos 8t - 1/6 sen 8t.
    Movimiento Vibratorio Amortiguado:
    El estudio del movimiento armónico libre es un tanto irreal puesto que el movimiento descrito por la ecuación - kx + mg - ks = - kx supone que no actúan fuerzas retardados sobre la masa en movimiento. A menos que la masa esté suspendida en un vacío perfecto, por lo menos habrá una fuerza opuesta debida al medio que la rodea. Por ejemplo, como muestra la figura 5.8, la masa m podría estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un mecanismo de amortiguación.
    Ecuación diferencial del movimiento con amortiguación:
    En los estudios de mecánica se supone que las fuerzas de amortiguación que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a una potencia de la velocidad instantánea. En particular, supondremos en el estudio que sigue que esta Fuerza está dad por un múltiplo constante de dx/dt. Cuando no actúan otras fuerzas exteriores sobre el sistema, se tiene, por la segunda ley de Newton, que:
    m d²x/dt² = -kx - dx/dt
    En donde es una constante de amortiguación positiva y el signo negativo se debe a que la fuerza amortiguadora actúa en dirección opuesta al movimiento.
    Dividiendo m d²x/dt² = -kx - dx/dt entre la masa m se obtiene la ecuación diferencial del movimiento vibratorio amortiguado libre.
    d²x/dt² + dx/ m dt +(k/m)x = 0
    o bien d²x/dt² + 2 dx/dt + ²x =0
    En la ecuación d²x/dt² + dx/ m dt +(k/m)x = 0 identificamos 2 = /m, ² = k/m.
    El símbolo 2 se usa sólo por conveniencia algebraica ya que la ecuación auxiliar es m² + 2 m + ² = 0 y por lo tanto las correspondientes raíces son:
    m1 = - + "( ² - ²), m2 = - - "( ² - ²).
    Según el signo algebraico de ² - ², podemos distinguir tres casos posibles. Puesto que cada solución contendrá el factor de amortiguación e ,siendo > 0, los desplazamientos de la masase volverán insignificantes para valores grandes del tiempo.
    Caso I:
    ² - ² > 0. En esta situación decimos que el sistema está sobreamortiguado, puesto que el coeficiente de amortiguación es grande comparado con la constante k del resorte. La correspondiente solución de d²x/dt² + 2 dx/dt + ²x =0 es x(t) = C1e + C2e
    o bien:
    x(t) = e (C1e + C2e ).
    Caso II:
    ² - ² = 0. Decimos que el sistema está críticamente amortiguado ya que una pequeña disminución de la fuerza de amortiguación produciría un movimiento oscilatorio. La solución general será:
    x(t) = e (C1 + C2t)

    Caso III:
    ² - ² < 0.En este caso se dice que el sistema está subamortiguado, ya que el coeficiente de amortiguación es pequeño comparado con la constante del resorte. Las raíces m1 y m2 son ahora complejas. m = - + "( ² - ²)i m = - - "( ² - ²)i
    y por lo tanto la solución general es:
    x(t) = e [C1 cos "( ² - ²)t + C2 sen "( ² - ²)t]
    Ejemplo:
    Un cuerpo que pesa 8lb. estira un resorte 2 pie. Suponiendo que una fuerza de amortiguación numéricamente igual a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema y que el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 3pie/s, determinar la ecuación del movimiento.
    Solución:
    Por la ley de Hooke tenemos:
    8 = k (2), k = 4lb/pie
    y por m = W/g
    m = 8/32 = 1/4slug.
    En consecuencia, la ecuación diferencial del movimiento es:
    1/4 d²x/dt² = - 4x - 2 dx/dy ó bien d²x/dt² + 8 dx/dt + 16x = 0
    Las condiciones iniciales son:
    x(0) = 0, dx/dt% = - 3
    %t = 0
    Ahora bien, la ecuación auxiliar de d²x/dt² + 8 dx/dt + 16x = 0 es:
    m² + 8m + 16 = (m + 4)² = 0
    De modo que m1 y m2 = - 4. Por lo tanto, el sistema está críticamente amortiguado y: x(t) = - 3te es la ecuación de movimiento.
    Movimiento Vibratorio forzado con amortiguación:
    Supongamos que se considera una fuerza (t) que actúa sobre una masa oscilante sujeta aun resorte. Por ejemplo, (t) podría representar una fuerza impulsora que causa un movimiento oscilatorio vertical del soporte del resorte. Al incluir (t) en la formulación de la segunda Ley de Newton resulta:
    m d²x/dt² = -kx - dx/dt + (t).
    [d²x/dt² + dx / m dt + (k / m) x = (t) / m] = d²x/dt² + 2 dx/dt + ²x = F(t)
    En donde F(t) = (t)/m y, 2 = /m, ² = k/m. Para resolver la ultima ecuación no homogénea podemos usar indistintamente el método de variación de parámetros o el de los coeficientes indeterminados.
    Ejemplo:
    Interpretar y resolver el siguiente problema de valor inicial
    1/5 d²x/dt² + 1.2 dx/dt + 2x = 5 cos 4t
    x(0) = 1/2, dx/dt% = 0.
    %t = 0
    solucion:
    Podemos interpretar el problema como una representación de un sistema oscilatorio que consiste en una masa (m = 1/5 Kg) sujeta a un resorte (k = 2 N/m). La masa se suelta, a partir del reposo, desde un punto que está 1/2 unidad (metro) bajo la posición de equilibrio: El movimiento es amortiguado ( = 1.2) y es impulsado por una fuerza externa periódica(T = / 2 segundos) a partir del instante t = 0. Intuitivamente, esperamos que aun con amortiguación el sistema se mantenga en movimiento hasta que el instante en que la función forzante se “corte”, en cuyo caso las amplitudes disminuirían gradualmente. Sin embargo, por la forma en que el problema está dado, se tiene (t) = 5 cos 4t permanecerá “en acción” indefinidamente.
    Primero multiplicamos 1/5 d²x/dt² + 1.2 dx/dt + 2x = 5 cos 4t por 5 y resolvemos la ecuación homogénea d²x/dt² + 6 dx/dt + 10x = 0 Por los métodos usuales.
    Como m1 = - 3 + i, m2 = - 3 - i se tiene que:
    xc(t) = e (C1 cos t + C2 sen t).
    Usando el método de los coeficientes indeterminados, postulamos una solución particular de la forma xp (t) = A cos 4t + B sen 4t. En tal caso:
    xp´ = - 4A sen 4t + 4B cos 4t.
    xp´ ´ = - 16A cos 4t - 16B sen 4t.
    De modo que xp´ ´ + 6 xp´ + 10 xp = - 16A cos 4t-16B sen 4t - 24ª sen 4t
    = 24B cos 4t + 10A cos 4t + 10B sen 4t
    = (- 6 A + 24B) cos 4t + ( -24A - 6B) sen 4t
    = 25 cos 4t
    Del sistema de ecuaciones que resulta -6A +24B = 25 y - 24A -6B = 0 da A = -25/102 y B = 50/51. Se tiene pues:
    x(t) = e ( C1 cos t + C2 sen t ) - 25/102 cos 4t + 50/51 sen 4t
    Si en la ecuación anterior hacemos t = 0 inmediatamente resulta C1 = 38/51. Derivando la expresión y haciendo t = 0 encontramos que C2 = - 86/51. Por lo tanto, la ecuación del movimiento es:
    x(t) = e ( 38/51 cos t - 86/51 sen t ) - 25/102 cos 4t + 50/51 sen 4t
    Términos transitorios y estacionarios:
    Nótese que la función complementaria x(t) = e ( 38/51 cos t - 86/51 sen t) - 25/102 cos 4t + 50/51 sen 4t del ejemplo precedente tiene la propiedad de que lim xc(t) = 0.
    t!"
    Puesto que xc(t) se vuelve insignificante ( es decir tiende a 0) cuando t!", se dice que es un termino transitorio o una solución transitoria. Así, para valores grandes del tiempo, los desplazamientos del cuerpo se aproximan estrechamente por la solución particular x (t). A esta ultima función también se la llama solución estacionaria (o de estado permanente). Cuando F es función periódica como F(t) = Fo sen t o bien F(t) = Fo cos t. la solución general consiste en:
    x(t) = termino transitorio + termino estacionario.
    Sin Amortiguación:
    En ausencia de una fuerza de amortiguación, no habrá termino transitorio en la solución de un problema. Además veremos que la aplicación de una fuerza periódica de frecuencia cercana, o igual, a la frecuencia de las oscilaciones libres no amortiguadas puede causar un problema serio en cualquier sistema mecánico oscilatorio.

21. Desiree Ochoa 14 jun 2010 - 11:35 PM

    Reseña histórica de las Ecuaciones Diferenciales:

    Una ecuación es una igualdad condicional que se cumple sólo para las soluciones de la misma. Así, en una ecuación algebraica como x – 2 = 0, la igualdad sólo se cumple para x = 2.
    En forma similar, una ecuación diferencial, constituida por funciones y sus derivadas, es una igualdad que se cumple sólo para las funciones que son soluciones de la misma. Así, si tenemos f(x) = f’(x), la solución será la función exponencial “e elevado a la x”, ya que es la única función cuya derivada es igual a la función misma.
    El análisis matemático del comportamiento de la transmisión de ondas electromagnéticas se realizó gracias a los trabajos de James Clerk Maxwell, Lord Kelvin y, principalmente, Oliver Heaviside.
    En 1855, Lord Kelvin formuló un modelo de difusión para la corriente en un cable submarino. Este modelo predijo correctamente el pobre desempeño que tendría el cable submarino transatlántico de 1858. En 1885, Heaviside publicó los primeros documentos sobre el estudio de la línea de transmisión, en los que describía su análisis de propagación en cables y la forma actual de las ecuaciones del telégrafo.1
    Reseña histórica de las Ecuaciones Diferenciales:

    Una ecuación es una igualdad condicional que se cumple sólo para las soluciones de la misma. Así, en una ecuación algebraica como x – 2 = 0, la igualdad sólo se cumple para x = 2.
    En forma similar, una ecuación diferencial, constituida por funciones y sus derivadas, es una igualdad que se cumple sólo para las funciones que son soluciones de la misma. Así, si tenemos f(x) = f’(x), la solución será la función exponencial “e elevado a la x”, ya que es la única función cuya derivada es igual a la función misma.
    El análisis matemático del comportamiento de la transmisión de ondas electromagnéticas se realizó gracias a los trabajos de James Clerk Maxwell, Lord Kelvin y, principalmente, Oliver Heaviside.
    En 1855, Lord Kelvin formuló un modelo de difusión para la corriente en un cable submarino. Este modelo predijo correctamente el pobre desempeño que tendría el cable submarino transatlántico de 1858. En 1885, Heaviside publicó los primeros documentos sobre el estudio de la línea de transmisión, en los que describía su análisis de propagación en cables y la forma actual de las ecuaciones del telégrafo.1

    Conceptos Básicos:

    Orden de la ecuación
    El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación
    Grado de la ecuación
    Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómicas, de no ser así se considera que no tiene grado.
    Ecuación diferencial lineal
    Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
    Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
    En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
    Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
    Ejemplos:
    es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.
    es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
    es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
    Usos
    Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
    En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

    Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
    La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

    donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

    Tipos:
    Ecuación diferencial ordinaria:
    Las matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.
    Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.
    Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.
    Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.
    Ecuación en derivadas parciales
    En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.
    Notación y ejemplos
    En las ecuaciones en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub.-índices (Notación tensorial). Esto es:

    Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como para las derivadas espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como
    (Notación matemática)
    (Notación física)
    Formulación Matemática
    Supónganse que en cualquier tiempo t hay Ni estudiantes infectados y Nu estudiantes no infectados. Entonces si N es él numero total de estudiantes, asumido constante, tenemos
    N = Ni + Nu
    La tasa de cambio en él numero de estudiantes infectados esta dada entonces por la derivada dNi / dt. Esta derivada debería depender de alguna manera de Ni y así de Nu en virtud de la formula N = Ni + Nu.
    Asumiendo que dNi / dt, como una aproximación, es una función cuadrática de N, tenemos entonces que:
    dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni²
    Donde Ao, A1, A2 son constantes. Ahora esperaríamos que la tasa de cambio de Ni, esto es, dNi / dt sea cero donde Ni = 0, esto es, no hay estudiantes infectados, y donde Ni = N, esto es, todos los estudiantes estén infectados. Entonces de la ultima formulación hecha tenemos que: Ao = 0 y A1N + A2N² = 0 ó A2 = -A1/N
    Así que de: dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni² se convierte en: dNi / dt = kNi (N - Ni). Donde k = A1/N es una constante. Las condiciones iniciales en t = 0, hay No estudiantes infectados, entonces: Ni = No en T = 0. De todo esto podemos deducir que:
    Ni = N _
    1 + (N/No - 1)e

22. Luis Rivero 14 jun 2010 - 11:37 PM

    Reseña histórica de las Ecuaciones Diferenciales:

    Una ecuación es una igualdad condicional que se cumple sólo para las soluciones de la misma. Así, en una ecuación algebraica como x – 2 = 0, la igualdad sólo se cumple para x = 2.
    En forma similar, una ecuación diferencial, constituida por funciones y sus derivadas, es una igualdad que se cumple sólo para las funciones que son soluciones de la misma. Así, si tenemos f(x) = f’(x), la solución será la función exponencial “e elevado a la x”, ya que es la única función cuya derivada es igual a la función misma.
    El análisis matemático del comportamiento de la transmisión de ondas electromagnéticas se realizó gracias a los trabajos de James Clerk Maxwell, Lord Kelvin y, principalmente, Oliver Heaviside.
    En 1855, Lord Kelvin formuló un modelo de difusión para la corriente en un cable submarino. Este modelo predijo correctamente el pobre desempeño que tendría el cable submarino transatlántico de 1858. En 1885, Heaviside publicó los primeros documentos sobre el estudio de la línea de transmisión, en los que describía su análisis de propagación en cables y la forma actual de las ecuaciones del telégrafo.1

    Conceptos Básicos:

    Orden de la ecuación
    El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación
    Grado de la ecuación
    Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómicas, de no ser así se considera que no tiene grado.
    Ecuación diferencial lineal
    Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
    Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
    En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
    Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
    Ejemplos:
    es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.
    es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
    es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
    Usos
    Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
    En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

    Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
    La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

    donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.
    Solución de una ecuación diferencial:
    Tipos de soluciones
    Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
    Solución general:
    Una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc.). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
    Solución particular:
    Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
    Solución singular:
    Una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general
    Tipos:
    Ecuación diferencial ordinaria:
    Las matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.
    Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.
    Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.
    Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.
    Ecuación en derivadas parciales
    En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.
    Notación y ejemplos
    En las ecuaciones en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub.-índices (Notación tensorial). Esto es:

    Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como para las derivadas espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como
    (Notación matemática)
    (Notación física)

    APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN:
    Aplicaciones a la Biología
    Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde os microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación.
    Crecimiento Biológico
    Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era:
    dy / dt = y
    con solución
    y = ce
    Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento ocurre si > 0 mientras que el decaimiento (o encogimiento) ocurre sí 0 entonces tenemos que y!" si t!" , así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. Esto esta en conflicto con la realidad, ya que después de transcurrir cierto tiempo sabemos que una célula o individuo deja de crecer, habiendo conseguido el tamaño máximo.
    Formulación Matemática
    Supongamos que “y” denota la altura de un ser humano (aunque como ya se ha mencionado, esto también puede referirse a otras cosas tales como el tamaño de las células). Tendríamos entonces:
    dy / dx = F(y) y = Yo para t=0
    Donde “Yo” representa la altura en algún tiempo especificado t = 0, y donde F es una función apropiada pero aun desconocida. Puesto que la función lineal F(y) = y no es apropiada, ensayemos como una aproximación de orden superior dada por la función cuadrática F(y) = y - y² , y = Yo para t = 0.
    Puesto que la ecuación F(y) = y - y² es de variables separables, tenemos
    dy / y - y² = dt ó " dy / y ( - y) = t + c
    esto es, "1/ [1/y + / - y]dy = t + c
    = 1/ [ln y - ln ( - y)] = t + c
    Usando la condición y resolviendo en y = Yo en t = 0 se obtiene que:
    Y = / _ _
    1 + [ / / Yo - 1] e
    Si tomamos el limite de la ecuación anterior tenemos que: Cuando t!", vemos, ya que > 0, que:
    Ymax = lim Y = /
    t!"
    Por simple álgebra encontramos:
    Ymax = lim Y = Y1(Yo - 2YoY2 + Y1Y2)
    t!" Y1² - YoY2
    Ejemplo:
    Las alturas promedios de los niños varones de varias edades se muestran en la siguiente tabla. Use estos datos para predecir la altura media de varones adultos con pleno crecimiento.
    Solución: Para cubrir en conjunto completo de datos dado en la tabla, sea t = 0,1,2 las edades al nacimiento, 4 años y 8 años, respectivamente. Así tenemos que Yo = 19.4 Y1 = 40.3 Y2 = 56.8.
    Sustituyendo estos valores en la ecuación de Ymax se obtiene el valor de 66.9 pul. o 5 pies con 7 pul. como la altura media máxima requerida.
    Problemas de Epidemiología:
    Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología K, y si un porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia.
    Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algo complicados; para ello presentar un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población grande pero finita. Supongamos entonces que nos restringimos a los estudiantes de un colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largo y que no se tiene acceso a otras comunidades. Supondremos que hay solo dos tipos de estudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, y otros que no tienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primer contacto con un estudiante infectado. Deseamos obtener una formula para el numero de estudiantes infectados en cualquier tiempo, dado que inicialmente hay un numero especificado de estudiantes infectados.
    Formulación Matemática
    Supónganse que en cualquier tiempo t hay Ni estudiantes infectados y Nu estudiantes no infectados. Entonces si N es él numero total de estudiantes, asumido constante, tenemos
    N = Ni + Nu
    La tasa de cambio en él numero de estudiantes infectados esta dada entonces por la derivada dNi / dt. Esta derivada debería depender de alguna manera de Ni y así de Nu en virtud de la formula N = Ni + Nu.
    Asumiendo que dNi / dt, como una aproximación, es una función cuadrática de N, tenemos entonces que:
    dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni²
    Donde Ao, A1, A2 son constantes. Ahora esperaríamos que la tasa de cambio de Ni, esto es, dNi / dt sea cero donde Ni = 0, esto es, no hay estudiantes infectados, y donde Ni = N, esto es, todos los estudiantes estén infectados. Entonces de la ultima formulación hecha tenemos que: Ao = 0 y A1N + A2N² = 0 ó A2 = -A1/N
    Así que de: dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni² se convierte en: dNi / dt = kNi (N - Ni). Donde k = A1/N es una constante. Las condiciones iniciales en t = 0, hay No estudiantes infectados, entonces: Ni = No en T = 0. De todo esto podemos deducir que:
    Ni = N _
    1 + (N/No - 1)e
    Aplicaciones a la Economía
    En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra mucho factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.
    Oferta y Demanda
    Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada ( por ejemplo un barril de petróleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p(t) es el precio en el tiempo t.
    El numero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sino también de la dirección en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En símbolos esta dependencia de D en p(t) y p´(t) puede escribirse:
    D = (p(t)),p´(t)
    Llamamos la función de demanda.
    Similarmente, el numero de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por S(t), o brevemente S. Como en el caso de la demanda, S también depende de p(t) y p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir mas, la oferta disponible tiende a incrementar anticipándose a precios más altos. En símbolo esta dependencia de S en p(t) y p´(t) puede escribirse:
    S = g(p(t), p´(t)
    Llamamos g a la función oferta.
    Principio económico de la oferta y la demanda
    El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), esta determinada por la condición de que la demanda en t sea igual a la oferta en t, en forma matemática esto quiere decir:
    (p(t),p´(t)) = g(p(t),p´(t))
    Las formas que debería tener y g son las siguientes:
    D = (p(t),p´(t)) = A1p(t) + A2p´(t) + A3
    S = g(p(t),p´(t)) = B1p(t) + B2p´(t) + B3
    Donde A´S y B´S son constantes, en ese caso la formula matemática se transforma a la siguiente expresión:
    A1p(t) + A2p´(t) + A3 = B1p(t) +B2p´(t) + B3
    (A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 - A3
    Asumamos que A1"B1, A2"B2 y A3"B3. Entonces podríamos escribir la formula como:
    p´(t) + (A1-B1/A2-B2)p(t) = B3-A3/A2-B2
    Resolviendo esta ecuación lineal de primer orden sujeta a p = Po en t = 0 da como resultado:
    p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e
    Caso I: Si Po = (B3-A3)/(A1-B1) y p(t)=Po entonces, los precios permanecen constantes en todo tiempo.
    Caso II: Si (A1-B1)/A2-B2)>0 entonces se tendría una estabilidad de precios.
    Caso III: Si (A1-B1)/A2-B2) (B3-A3)/A1-B1),esto es, tenemos inflación continuada o inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar hasta que los factores económicos cambien, lo cual puede resultar en un cambio a la ecuación (A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 -A3.
    Ejemplo:
    La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de unidades por D = 48 - 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) + 4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien es 10 unidades, encuentre (a) El precio en cualquier tiempo t > 0 y (b) Si hay estabilidad o inestabilidad de precio.
    Solución: El precio p(t) esta determinado al igualar la oferta con la demanda, esto es,
    48 - 2p(t) + 3p´(t) = 30 + p(t) + 4p´(t) = p´(t) + 3 p(t) = 18
    Resolviendo la ecuación del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da como resultado: p(t) = 6 + 4e
    De este resultado vemos que, sí t!", p!6. Por tanto tenemos estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es de 6 unidades.
    Inventarios:
    Si la oferta es mayor a la demanda, entonces los productores tiene una cierta cantidad de bien en su posesión, la cual se llama inventario del bien, el cual esperan vender. Por otro lado, si la demanda es mayor que la oferta, entonces los productores deben adquirir inventario.
    Formulación Matemática
    Sea q(t) la cantidad o numero de unidades de un bien C disponible en tiempo t. Entonces q(t + "t) = q(t) + "q es la cantidad disponible en tiempo t + "t. Así tenemos que:
    Cantidad acumulada en intervalo t a t + "t = "q = q(t + "t) - q(t).
    S = numero de unidades de C ofrecidas de tiempo por los productores en tiempo t.
    D = numero de unidades de C demandadas por unidad de tiempo por los consumidores en tiempo t.
    Entonces el numero de unidades ofrecidas por los productores y demandas por los consumidores entre t y t +"t están dados aproximadamente por S"t y D"t respectivamente, donde los resultados son precisos excepto por términos que involucran ("t)² y mayores.
    Así, cantidad acumulada en el intervalo t a t + "t es igual a:
    S"t - D"t + términos con ("t)² o mayores.
    Así "q/"t = S - D + términos con ("t)² o mayores.
    Tomando el limite cuando "t!0, dq/dt = S - D.
    De esta última ecuación podremos decir que servirá de base para el posterior análisis sobre precios. Como una ilustración, supongamos que un productor desea proteger sus utilidades al requerir que la tasa a la cual incrementara el precio sea proporcional a la tasa a la cual declina el inventario. En ese caso tenemos que:
    dp/dt = - dq/dt
    Donde > 0 es la constante de proporcionalidad que se asume conocida, de modo que usando la ecuación dp/dt = - (S - D). Puesto que S y D se pueden expresar en términos de p, la ecuación dp/dt = - (S - D) es una ecuación diferencial para p.
    Ejemplo:
    Suponga que la oferta y la demanda están dadas en términos de precios p por S = 60 + 2P, D = 120 - 3P, respectivamente, la constante de proporcionalidad es = 4. Escriba la ecuación diferencial para p y determine el precio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8 en t = 0
    Solución: de la formula dp/dt = - dq/dt la ecuación diferencial requerida para p es: dp/dt = -4(60 + 2P - 120 + 3p) o dp/dt + 20 p = 240
    resolviendo esta ultima ecuación diferencial tenemos que p = 12 + ce
    usando p = 8 en t = 0 da c = - 4 y así p = 12 - 4e
    Aplicaciones a la Química:
    Hay muchas aplicaciones de ecuaciones diferenciales a los procesos químicos. Algunas de estas serán indicadas en los siguientes ejemplos.

    Ejemplo:
    Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua salada en la cual están disueltas 5lb de sal. Si el agua salada esta conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.
    • Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.
    • ¿Cuanta sal está presente después de 10min?
    • ¿Cuanta sal está presente después de un tiempo largo?
    Formulación Matemática:
    Sea A el número de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego dA / dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y esta dada por:
    dA / dt = tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida
    Puesto que entran 2gal/min. conteniendo 3lb/gal de sal tenemos que la cantidad de sal que entra por minuto es:
    2gal / min. x 3 lb./gal = 6 lb./min. Lo cual es la tasa a la cual se gana sal. Puesto que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es A libras por 10gal. La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto,
    Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min.
    de: (dA / dt),(6 lb./min.) y (A lb./5min) tenemos que: dA / dt = 6 - A/5.
    Puesto que inicialmente hay 5lb. de sal, tenemos que A = 5 en t = 0. Así, la formulación matemática completa es:
    dA / dt =6 - A/5 A = 5 en t = 0
    Solución:
    Usando el método de separación de variables, tenemos:
    " (dA / 30 - A) = " (dt / 5) ó - ln (30 - A) = t / 5 + c
    Puesto que A = 5 en t = 0, c = - ln 25. Así,
    - ln (30 - A) = t/5 - ln 25 = ln[(30 - A)/25] = A = 30 - 25 e
    La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.
    Al final de los 10min. la cantidad de sal es A = 30 - 25 e ² = 26.6 lb.
    Después de un tiempo largo, esto es, cuando t!", vemos que A!30 lb., Esto también podría ser visto desde la ecuación diferencial haciendo dA / dt = 0, puesto que también A es una constante cuando se alcanza el equilibrio.
    Mezclas químicas:
    Ejemplo:
    Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere 2lb. de A por cada libra de B. Sí 10lb. de A y 20lb. de B están presentes inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20min. ; Encontrar la cantidad del químico C en cualquier tiempo.
    Formulación Matemática:
    Sea x la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas. Luego dx / dt es la tasa de su formación para formar x lb. de C, necesitamos (2x / 3lb.) de A y (x / 3lb.) de B, puesto que se necesita que el químico A sea el doble de B. Por tanto, la cantidad de A presente al tiempo t cuando se forman x lb. de C es 10 - 2x/3, y la cantidad de B en este tiempo es 20 - x/3. Por tanto:
    dx / dt = K [10 - (2x/3)] * [20 - (x/3)]; Donde K es la constante de la proporcionalidad. Esta ecuación puede escribirse de la siguiente manera: dx / dt = k[(15 - x) (60 - x)] donde k es otra constante. Hay dos condiciones. Puesto que el químico C inicialmente no está presente, tenemos x = 0 en t = 0. También x = 6 en t = 1/3. Necesitamos dos condiciones, una para determinar k, y la otra para determinar la constante arbitraria de la solución de la ecuación diferencial.
    La formulación completa es:
    dx / dt = k[(15 - x) (60 - x)] x = 0 en t = 0 ; x = 6 en t = 1/3
    solución:
    La separación de variables produce:
    "dx / [(15 - x) (60 - x)] = " k dt = kt + C1
    Ahora " dx / [(15 - x) (60 - x)] = " 1/45 [(1/15 - x) - (1/60 - x)] dx
    = 1/45 ln [(60 - x) / (15 - x)]; así podemos mostrar que:
    60 - x / 15 - x = C e
    Puesto que x = 0 en t = 0, encontramos c = 4. Así
    ( 60 - x ) / ( 15 - x ) = 4 e
    Puesto que x = 6 en t = 1/3, tenemos e = 3/2. Así, [(60 - x) / (15 - x)] = 4(e )³t = 4(3/2)³t ó x = 15 [ 1 - (2/3)³t]
    1 - (1/4)(2/3)³t
    Cuando t!", x!15lb.
    Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario:
    Considere una pieza de material de longitud indefinida acotada por dos planos paralelos A y B, como muestra la figura a.1. Asuma que el material es uniforme en todas sus propiedades, por ejemplo, calor específico, densidad, etc. Supóngase que los planos A y B se mantienen a 50°C y 100°C, respectivamente. Todo punto en la región entre A y B alcanza cierta temperatura que no cambia posteriormente. Así todos los puntos en el plano C en la mitad entre A y B estarán a 75°C; el plano E a 90°C. Cuando la temperatura en cada punto de un cuerpo no varia con el tiempo, decimos que prevalecen las condiciones de estado estacionario o que tenemos un flujo de calor en estado estacionario.

    Ejemplo:
    Un tubo largo de acero de conductividad térmica k = 015 unidades cgs, tiene un radio interior de 10 cm y un radio exterior de 20 cm. La superficie interna se mantiene a 20°C y la superficie exterior se mantiene a 50°C. (a) Encuentre la temperatura como una función de la distancia r del eje como de los cilindros concéntricos. (b) Encuentre la temperatura cuando r = 15 cm y (c) ¿Cuanto calor se pierde por minuto en la parte del tubo de 20m de largo?

    Formulación Matemática:
    Sabemos que las superficies isotérmicas son cilindros concéntricos con los cilindros dados. El área de tal superficie con radio r y longitud l es 2 rl. La distancia dn en este caso dr. Así, la ecuación q = - KA dU/dn puede escribirse como: q = - K(2 rl) dU/dr.
    Puesto que K = 0.15, l = 20 m = 2000 cm, tenemos que:
    q = - 600 r dU/dr.
    De esta ultima ecuación, q es por supuesto una constante. Las condiciones son U = 200°C en r = 10, U = 50°C en r = 20
    Solución:
    Separando las variables en q = - 600 r dU/dr. e integrando se obtiene:
    -600 U = q ln r + c
    Usando las condiciones U = 200°C en r = 10, U = 50°C en r = 20 tenemos - 600 (200) = q ln 10 + c, -600 (50) = q ln 20 + c de donde obtenemos q = 408.000, c = 1.317.000. Por tanto, de - 600 U = q ln r + c encontramos que U = 699 - 216 ln r.
    Si r = 15, encontramos por sustitución que U = 114°C. Del valor anterior de q, el cual está en calorías por segundo, es claro que la respuesta a la parte (c) es Q= 408.000 x 60cal/min. = 24.480.000cal/min.
    APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
    Aplicaciones a la física:
    Movimiento Armónico Simple:
    La Ley de Hooke:
    Supongamos que un cuerpo de masa M esta sujeto al extremo de un resorte flexible suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura 5.1b. Cuando M se reemplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto.
    Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb. alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,
    10 = k (1/2) implica que k = 20 lb./pie.
    Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. alarga el mismo resorte en 2/5 pie.

    Segunda Ley de Newton:
    Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:
    W = m . g
    Solución y ecuación de movimiento:
    Para resolver la ecuación d²x/dt² + ²x = 0 observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar M² - w² = 0 son los números complejo M = i y Mi = - i. De esta forma se obtiene una solución general: x (t) = C1 cos t + C2 sen t.
    El periodo de las vibraciones libres descritas por la ultima ecuación general planteada es T = 2 / y la frecuencia es = 1/T = /2 . Por ejemplo, para x (t) = 2 cos 3t - 4 sen 3t el periodo es 2 /3 y la frecuencia es 3/2 . El primer numero indica que hay 3 ciclos de la grafica de cada 2 unidades; en otras palabras, la masa realiza 3/2 oscilaciones completas por unidad de tiempo. Además, se puede demostrar que el periodo 2 / es el intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). Finalmente, una vez que hemos determinado las constantes C1 y C2 en x (t) = C1 cos t + C2 sen t mediante las condiciones iniciales
    x(0) = , dx/dt% =
    %t = 0
    , Decimos que la solución particular resultante es la ecuación de movimiento.
    Ejemplo:
    Resolver e interpretar el problema de valor inicial:
    d²x/dt² + 16 x = 0
    x(0) = 10, dx/dt% = 0
    %t = 0
    Solución:
    Una formulación equivalente del problema es: se estira hacia abajo de un cuerpo que pende de un resorte hasta que esté 10 unidades bajo la posición de equilibrio y luego se le retiene hasta t = 0; se le suelta a continuación de manera que parta de un estado de reposo. Aplicando las condiciones iniciales a la solución:
    x (t) = C1 cos 4t + C2 sen 4t.
    Resulta x (0) = 10 = C1 . 1 + C2 . 0
    de modo que C1 = 10 y por lo tanto
    x (t) = 10 cos 4t + C2 sen 4t.
    dx/dt = 40 sen 4t + 4C2 cos 4t
    dx/dt% = 0 = 4C2 . 1
    %t = 0
    La ultima ecuación implica que C = 0 y por lo tanto la ecuación de movimiento es x (t) = 10 cos 4t.
    La solución muestra claramente que una vez que el sistema se pone en movimiento, permanece en tal estado, con la masa deslazándose alternadamente 10 unidades hacia cada lado de la posición de equilibrio x = 0. El periodo de oscilación es 2 /4 = /2 segundos.
    Ejemplo:
    Un cuerpo que pesa 2lb. se estira un resorte 6plg. Dicho cuerpo se suelta en t = 0 desde un punto que está 8plg bajo la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pie/seg. Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante.
    Solución:
    Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en pies: 6plg = 6/12 = 1/2 pie, 8plg = 8/12 = 2/3 pie. Además, debemos convertir las unidades de peso en unidades de masa. M = W/g
    Tenemos M = 2/32 = 1/16slug; Además, por la Ley de Hooke se tiene: 2 - k (1/2) lo que implica que k = 4lb/pie.
    Por consiguiente, se tiene: 1/16 d²x/dt² = -4x y d²x/dt² + 64x = 0.
    El desplazamiento y la velocidad iniciales están dados por :
    x(0) = 2/3, dx/dt% = - 4/3
    %t = 0
    En donde el signo negativo que aparece en la ultima condición en consecuencia de que a la masa se le da una velocidad inicial con dirección negativa, esto es, dirigida hacia arriba.
    Ahora bien, ² = 64, osea = 8, de modo que la solución general de la ecuación diferencial es:
    x (t) = C1 cos 8t + C2 sen 8t.
    Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuación tenemos que:
    x (0) = 2/3 = C1 . 1 + C2 . 0 (C1 = 2/3)
    x (t) = 2/3 cos 8t + 8C2 cos 8t
    x´(t) = - 16/3 sen 8t + 8C2 cos 8t
    x´(0) = - 4/3 = - 16/3 . 0 + 8C2 .1, (C = -1/6)
    Luego C2 = - 1/6. Por consiguiente, la ecuación de movimiento es:
    x (t) = 2/3 cos 8t - 1/6 sen 8t.
    Movimiento Vibratorio Amortiguado:
    El estudio del movimiento armónico libre es un tanto irreal puesto que el movimiento descrito por la ecuación - kx + mg - ks = - kx supone que no actúan fuerzas retardados sobre la masa en movimiento. A menos que la masa esté suspendida en un vacío perfecto, por lo menos habrá una fuerza opuesta debida al medio que la rodea. Por ejemplo, como muestra la figura 5.8, la masa m podría estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un mecanismo de amortiguación.
    Ecuación diferencial del movimiento con amortiguación:
    En los estudios de mecánica se supone que las fuerzas de amortiguación que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a una potencia de la velocidad instantánea. En particular, supondremos en el estudio que sigue que esta Fuerza está dad por un múltiplo constante de dx/dt. Cuando no actúan otras fuerzas exteriores sobre el sistema, se tiene, por la segunda ley de Newton, que:
    m d²x/dt² = -kx - dx/dt
    En donde es una constante de amortiguación positiva y el signo negativo se debe a que la fuerza amortiguadora actúa en dirección opuesta al movimiento.
    Dividiendo m d²x/dt² = -kx - dx/dt entre la masa m se obtiene la ecuación diferencial del movimiento vibratorio amortiguado libre.
    d²x/dt² + dx/ m dt +(k/m)x = 0
    o bien d²x/dt² + 2 dx/dt + ²x =0
    En la ecuación d²x/dt² + dx/ m dt +(k/m)x = 0 identificamos 2 = /m, ² = k/m.
    El símbolo 2 se usa sólo por conveniencia algebraica ya que la ecuación auxiliar es m² + 2 m + ² = 0 y por lo tanto las correspondientes raíces son:
    m1 = - + "( ² - ²), m2 = - - "( ² - ²).
    Según el signo algebraico de ² - ², podemos distinguir tres casos posibles. Puesto que cada solución contendrá el factor de amortiguación e ,siendo > 0, los desplazamientos de la masase volverán insignificantes para valores grandes del tiempo.
    Caso I:
    ² - ² > 0. En esta situación decimos que el sistema está sobreamortiguado, puesto que el coeficiente de amortiguación es grande comparado con la constante k del resorte. La correspondiente solución de d²x/dt² + 2 dx/dt + ²x =0 es x(t) = C1e + C2e
    o bien:
    x(t) = e (C1e + C2e ).
    Caso II:
    ² - ² = 0. Decimos que el sistema está críticamente amortiguado ya que una pequeña disminución de la fuerza de amortiguación produciría un movimiento oscilatorio. La solución general será:
    x(t) = e (C1 + C2t)

    Caso III:
    ² - ² < 0.En este caso se dice que el sistema está subamortiguado, ya que el coeficiente de amortiguación es pequeño comparado con la constante del resorte. Las raíces m1 y m2 son ahora complejas. m = - + "( ² - ²)i m = - - "( ² - ²)i
    y por lo tanto la solución general es:
    x(t) = e [C1 cos "( ² - ²)t + C2 sen "( ² - ²)t]
    Ejemplo:
    Un cuerpo que pesa 8lb. estira un resorte 2 pie. Suponiendo que una fuerza de amortiguación numéricamente igual a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema y que el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 3pie/s, determinar la ecuación del movimiento.
    Solución:
    Por la ley de Hooke tenemos:
    8 = k (2), k = 4lb/pie
    y por m = W/g
    m = 8/32 = 1/4slug.
    En consecuencia, la ecuación diferencial del movimiento es:
    1/4 d²x/dt² = - 4x - 2 dx/dy ó bien d²x/dt² + 8 dx/dt + 16x = 0
    Las condiciones iniciales son:
    x(0) = 0, dx/dt% = - 3
    %t = 0
    Ahora bien, la ecuación auxiliar de d²x/dt² + 8 dx/dt + 16x = 0 es:
    m² + 8m + 16 = (m + 4)² = 0
    De modo que m1 y m2 = - 4. Por lo tanto, el sistema está críticamente amortiguado y: x(t) = - 3te es la ecuación de movimiento.
    Movimiento Vibratorio forzado con amortiguación:
    Supongamos que se considera una fuerza (t) que actúa sobre una masa oscilante sujeta aun resorte. Por ejemplo, (t) podría representar una fuerza impulsora que causa un movimiento oscilatorio vertical del soporte del resorte. Al incluir (t) en la formulación de la segunda Ley de Newton resulta:
    m d²x/dt² = -kx - dx/dt + (t).
    [d²x/dt² + dx / m dt + (k / m) x = (t) / m] = d²x/dt² + 2 dx/dt + ²x = F(t)
    En donde F(t) = (t)/m y, 2 = /m, ² = k/m. Para resolver la ultima ecuación no homogénea podemos usar indistintamente el método de variación de parámetros o el de los coeficientes indeterminados.
    Ejemplo:
    Interpretar y resolver el siguiente problema de valor inicial
    1/5 d²x/dt² + 1.2 dx/dt + 2x = 5 cos 4t
    x(0) = 1/2, dx/dt% = 0.
    %t = 0
    solucion:
    Podemos interpretar el problema como una representación de un sistema oscilatorio que consiste en una masa (m = 1/5 Kg) sujeta a un resorte (k = 2 N/m). La masa se suelta, a partir del reposo, desde un punto que está 1/2 unidad (metro) bajo la posición de equilibrio: El movimiento es amortiguado ( = 1.2) y es impulsado por una fuerza externa periódica(T = / 2 segundos) a partir del instante t = 0. Intuitivamente, esperamos que aun con amortiguación el sistema se mantenga en movimiento hasta que el instante en que la función forzante se “corte”, en cuyo caso las amplitudes disminuirían gradualmente. Sin embargo, por la forma en que el problema está dado, se tiene (t) = 5 cos 4t permanecerá “en acción” indefinidamente.
    Primero multiplicamos 1/5 d²x/dt² + 1.2 dx/dt + 2x = 5 cos 4t por 5 y resolvemos la ecuación homogénea d²x/dt² + 6 dx/dt + 10x = 0 Por los métodos usuales.
    Como m1 = - 3 + i, m2 = - 3 - i se tiene que:
    xc(t) = e (C1 cos t + C2 sen t).
    Usando el método de los coeficientes indeterminados, postulamos una solución particular de la forma xp (t) = A cos 4t + B sen 4t. En tal caso:
    xp´ = - 4A sen 4t + 4B cos 4t.
    xp´ ´ = - 16A cos 4t - 16B sen 4t.
    De modo que xp´ ´ + 6 xp´ + 10 xp = - 16A cos 4t-16B sen 4t - 24ª sen 4t
    = 24B cos 4t + 10A cos 4t + 10B sen 4t
    = (- 6 A + 24B) cos 4t + ( -24A - 6B) sen 4t
    = 25 cos 4t
    Del sistema de ecuaciones que resulta -6A +24B = 25 y - 24A -6B = 0 da A = -25/102 y B = 50/51. Se tiene pues:
    x(t) = e ( C1 cos t + C2 sen t ) - 25/102 cos 4t + 50/51 sen 4t
    Si en la ecuación anterior hacemos t = 0 inmediatamente resulta C1 = 38/51. Derivando la expresión y haciendo t = 0 encontramos que C2 = - 86/51. Por lo tanto, la ecuación del movimiento es:
    x(t) = e ( 38/51 cos t - 86/51 sen t ) - 25/102 cos 4t + 50/51 sen 4t
    Términos transitorios y estacionarios:
    Nótese que la función complementaria x(t) = e ( 38/51 cos t - 86/51 sen t) - 25/102 cos 4t + 50/51 sen 4t del ejemplo precedente tiene la propiedad de que lim xc(t) = 0.
    t!"
    Puesto que xc(t) se vuelve insignificante ( es decir tiende a 0) cuando t!", se dice que es un termino transitorio o una solución transitoria. Así, para valores grandes del tiempo, los desplazamientos del cuerpo se aproximan estrechamente por la solución particular x (t). A esta ultima función también se la llama solución estacionaria (o de estado permanente). Cuando F es función periódica como F(t) = Fo sen t o bien F(t) = Fo cos t. la solución general consiste en:
    x(t) = termino transitorio + termino estacionario.
    Sin Amortiguación:
    En ausencia de una fuerza de amortiguación, no habrá termino transitorio en la solución de un problema. Además veremos que la aplicación de una fuerza periódica de frecuencia cercana, o igual, a la frecuencia de las oscilaciones libres no amortiguadas puede causar un problema serio en cualquier sistema mecánico oscilator

23. roxana perez 15 jun 2010 - 03:17 AM

    Roxana Pérez
    19.366.618
    I-002 N
    Reseña histórica
    Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones.
    La historia de las ecuaciones diferenciales comienza a finales del siglo
    XVII con los trabajos de I. Newton (1642—1727) y G. Leibniz (1646—1716). Con el desarrollo posterior de la mecánica, la física, y el electromagnetismo, las ecuaciones diferenciales encontraron uso creciente como instrumentos para la descripción matemática de los fenómenos naturales.

    Hasta el siglo XIX la cuestión primordial era encontrar soluciones explícitas para las ecuaciones diferenciales que surgían en el estudio de problemas en la mecánica y la física. Los trabajos de L. Euler (1707—1783), los Bernoulli (ocho miembros de esta familia suiza fueron matemáticos a lo largo del S. XVIII), J. d’Alembert (1717—1783), J.L. Lagrange (1736—1813) y P.S. Laplace (1749—1827) configuran este período. Se trataba de encontrar métodos de resolución que, para tipos particulares de ecuaciones, permitieran representar las soluciones mediante fórmulas que involucraran los datos de las ecuaciones, o bien como suma de una serie.
    Orden de una ecuación diferencial: El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación.
    Grado de una ecuación diferencial: Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
    Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
    • Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
    • Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
    TIPOS
    Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
    Resolver la ecuación diferencial:
    y' = p(x).y = 0
    con la condición y(0) = 1 siendo :
    Esta ecuación es del tipo lineal por ser de primer grado en y' e y. La ecuación tendrá una solución para cada uno de los intervalos indicados. Calculamos la primera de ellas con la condición y(0) = 1.
    y' + 2y = 0 ; dy + 2y.dx = 0 □(1/y) ; dy + 2.dx = 0 ; Ln y + 2x = Ln C
    Si tomamos antilogaritmos tenemos :
    La ecuación resultante toma para x = 1 el valor e-2 con lo que la siguiente ecuación tenemos que resolverla en la forma:
    y' + y = 0 ; con la condición y(1) = e-2
    Tenemos según eso:
    y' + y = 0 ; dy + y.dx = 0 ; □(1/y) dy + dx = 0 ; Ln y + x = Ln C ; y = C.e-x
    y considerando el valor y(1) = e-2
    Ecuación de variables separables
    Ecuación exacta
    Ecuación lineal
    Ecuación homogénea
    Ecuaciones de orden superior
    APLICACIONES
    Aplicaciones a la Biología: Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era:
    dy / dt = y
    Con solución
    y = ce
    Aplicaciones a la física: Debido a que algunos fenómenos físicos son calculados con estas ecuaciones.
    Aplicaciones a la Química: En cuanto al cálculo de algunas mezclas químicas.
    Aplicaciones a la Economía: En cuanto a la aplicación de oferta y demanda de algunos productos, etc.

24. Odalie Espinoza, Delgado Dodanym, Pizzani Nilver. 15 jun 2010 - 03:37 AM

    Espinoza Odalie C.I 15745680, Delgado Dodanym C.I 15865771
    Pizzani Nilver C.I 11811863 Sección I 002/ n Ing. Civil III Semestre

    Una ecuación es una igualdad condicional que se cumple sólo para las soluciones de la misma. Así, en una ecuación algebraica como x – 2 = 0, la igualdad sólo se cumple para x = 2.
    En forma similar, una ecuación diferencial, constituida por funciones y sus derivadas, es una igualdad que se cumple sólo para las funciones que son soluciones de la misma. Así, si tenemos f(x) = f’(x), la solución será la función exponencial “e elevado a la x”, ya que es la única función cuya derivada es igual a la función misma.
    Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
    Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
    Una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.
    Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.
    Si F es esta relación o función, la ecuación diferencial ordinaria (EDO) es

    La ecuación diferencial lineal más general, de orden n está dada por:

    Donde los ai representan funciones dependientes de t.
    Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
    Una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo.
    Notación y ejemplos
    En las ecuaciones en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub.índices (Notación tensorial). Esto es:

    Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como para las derivadas espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como
    (Notación matemática)
    (Notación física)
    Solución general y solución completa
    Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas.
    Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en la ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.
    Tipos de soluciones
    Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
    1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
    2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
    3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

25. GLEIDYS HERNANDEZ 15 jun 2010 - 03:55 AM

    GLEIDYS HERNANDEZ
    SECC:I002
    ING CIVIL(NOCTURNO)

    RESEÑA HISTORICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
    Una ecuación es una igualdad condicional que se cumple sólo para las soluciones de la misma. Así, en una ecuación algebraica como x – 2 = 0, la igualdad sólo se cumple para x = 2.
    En forma similar, una ecuación diferencial, constituida por funciones y sus derivadas, es una igualdad que se cumple sólo para las funciones que son soluciones de la misma. Así, si tenemos f(x) = f’(x), la solución será la función exponencial “e elevado a la x”, ya que es la única función cuya derivada es igual a la función misma.
    Además Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
    • Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
    • Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
    Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:
    • es una ecuación diferencial ordinaria, donde es la variable dependiente, la variable independiente es la derivada de con respecto a .
    • La expresión es una ecuación en derivadas parciales.
    A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).
    Orden de la ecuación
    El orden de la derivada más alta en una ecuación deferencial se llama orden de la ecuación
    Grado de la ecuación
    Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
    Ecuación diferencial lineal
    Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
    • Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
    • En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
    • Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
    Ejemplos:
    • es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.
    • es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
    • es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
    Usos
    Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
    • En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

    Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
    • La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

    donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

    Solución de una ecuación diferencial
    Tipos de soluciones
    Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
    1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
    2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
    3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

26. continuacion GLEIDYS HERNANDEZ 15 jun 2010 - 04:03 AM

    GLEIDYS HERNANDEZ
    CI:17.614.462
    Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma general y comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma:

    O usando otra notación frecuente:

    Vemos que lo que define que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparecen productos de la función incógnita consigo misma ni ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:

    Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.

    Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:

    Donde y son funciones continuas en un intervalo . La solución de esta ecuación viene dada por:

    Resolución detalladaPlegar
    Es Posible encontrar una forma explícita para las soluciones de esta ecuación, la idea consiste en encontrar una función que nos permita transformar:

    en la derivada de un producto.
    Para ello necesitamos que . En efecto, si despejamos p(x) e integramos ambos miembros tenemos dentro de la integral y por resolución de integrales sabemos que es el logaritmo de w(x). Despejar el logaritmo es convertir en exponencial ambos miembros, y así obtenemos

    .
    Ahora si multiplicamos la ecuación diferencial por obtenemos:

    Lo que equivale a escribir:

    Con .
    Finalmente, todas las soluciones de la ecuación diferencial pueden ser calculadas usando la expresión:

    Ecuaciones lineales de orden n
    Del mismo modo que se ha definido la ecuación diferencial lineal de primer orden como podemos definir una ecuación diferencial de orden n como:

    Donde la derivada mayor que aparece es de orden n-ésimo.ç
    Resolución caso general
    Esta ecuación se dice que es lineal si la función incógnita o sus derivadas no están multiplicadas por si mismas o si tampoco aparecen en forma de funciones compuestas (por ejemplo, sin(y)). Una ecuación diferencial lineal de orden superior puede atacarse convirtiéndola en un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Para hacer esto se definen las n funciones incógnita adicionales dadas por:

    Puesto que:

    El sistema de ecuaciones diferenciales puede escribirse en forma de ecuación matricial como:

    Resolución con coeficientes constantes
    La resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales se simplifica mucho si las ecuaciones son de coeficientes constantes. En el caso de una ecuación de primer orden la búsqueda de un factor integrante nos lleva en la mayoría de los casos a una ecuación en derivadas parciales. Si la ecuación es de orden superior, a no ser que sea una ecuación de Euler o similar, tendremos que proponer una solución que no viene dada, en general, por funciones elementales. En estos casos los métodos preferidos (sin contar el cálculo numérico) son los que emplean series de potencias o series de Fourier. En el caso de los sistemas, si la matriz del sistema es de coeficientes constantes podemos resolver el sistema usando el método de los valores propios ya que en ese caso la matriz resultante de la reducción de la ecuación a un sistema de primer orden es constante y puede encontrarse fácilmente su solución calculando la exponencia de la matriz del sistema.
    Para estudiar otros métodos de encontrar la solución a parte de la exponenciación de matrices consideraremos una ecuación del tipo:

    Donde son coeficientes constantes conocidos. Observemos que la derivada n-ésima va acompañada por el coeficiente unidad. Definimos el polinomio carácterístico de la ecuación como

    que es una ecuación algebraica de orden n. Se demuestra que si hallamos las n raíces del polinomio característico la solución de la ecuación homogénea:

    Al calcular las raíces del polinomio característico pueden darse los siguientes casos:
    • Raíces reales distintas: En este caso la solución viene dada directamente por , donde , siendo Ck constantes de integración.
    • Raíces reales repetidas: Ilustraremos este caso con un ejemplo; sea una ecuación de segundo orden con coeficientes constantes cuyo polinomio carácterístico tiene la raíz λi doble. En este caso no podemos expresar la solución como , ya que si lo hacemos de este modo tenemos una información redundante. En este caso particular la solución de la ecuación es . En general, en una ecuación de orden n, si una raíz aparece repetida q veces la solución parcial asociada a ella es:

    • Raíces complejas: Si las raíces son del tipo debemos expresar la solución como combinación lineal de senos, cosenos y exponenciales en la forma
    .
    Si las raíces complejas conjugadas están repetidas, la ecuación es del tipo
    .
    Una vez resuelto el problema homogéneo podemos atacar el problema completo. Para tener la solución del problema completo debemos sumar una solución particular a la solución homogénea ya obtenida:
    .
    Para hallar empleamos el método de la conjetura razonable, consistente en analizar el término inhomogéneo de la ecuación y proponer funciones del mismo tipo como solución. Nótese que no es necesario que sea un coeficiente constante.
    Ejemplos
    • Tenemos Proponemos (polinomio de primer orden). Las constantes y quedan determinadas tras aplicar los requerimientos de la ecuación a la solución particular (derivar n veces, multiplicar por coeficientes constantes, etc.).
    • Tenemos . Proponemos . Las constantes y se determinan como en el ejemplo 1.

27. iraida ibarra y yelitza romero 15 jun 2010 - 04:53 AM

    República Bolivariana de Venezuela.
    Ministerio del Poder Popular para la Educación.
    Universidad Nacional Experimental
    Politécnica de las Fuerzas Armadas. UNEFA
    Valencia Edo. Carabobo

    Alumnas:

    Iraida Ibarra C.I.: 15.454.526
    Yelitza Romero C.I.:15.608.817

    Aula: 02, Sección, I-002-N

    Valencia, Junio del 2010

    Reseña Histórica de ecuaciones Diferenciales:

    Las primeras ecuaciones diferenciales fueron resueltas en el siglo XVII (17) por Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli en problemas de Geometría y Mecánica.
    La mayoría de estos primeros esfuerzos fueron orientados al desarrollo de técnicas ingeniosas para resolver ecuaciones diferenciales por medios de recursos aplicados durante el siglo XVIII, fueron desarrollando procedimientos más sistemáticos, principalmente por Euler, Lagrange y Laplace. En 1820, Cauchy obtuvo el primer “teorema de Existencia “para las ecuaciones diferenciales, pero en 1841, José Liouville, demostró tal condición no siempre era posible con medios elementales.

    Otros matemáticos también hicieron aportes a las ecuaciones diferenciales.

    Los primeros intentos para resolver problemas físicos mediante el cálculo diferencial a finales del siglo XVII llevaron gradualmente a crear una nueva rama de las matemáticas, a saber, las ecuaciones diferenciales. A mediados del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales se convirtieron en una rama independiente y su resolución un fin en sí mismo.

    ¿Qué es una ecuación diferencial?

    Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial.

    • Manera no trivial:

    Descarta ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:

    2 2
    Sen (dy/dx)+Cos (dy/dx)=1

    Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es:

    2 2
    (dy/dx-y) - 2y dy/dx + (dy/dx)

    • Orden de una Ecuación diferencial:

    El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación.

     Manera no trivial:

    Tiene el fin de evitar situaciones como la siguiente:
    3 3 1/2 x
    (d y/dT ) + Y = e

    Cuyo orden es uno y no tres, como podría pensarse.

    • Ecuación diferencial Lineal:

    Una ecuación diferencial ordinaria de orden es lineal si se puede escribir de la forma:
    (n) (n-1) (1)
    a (x) Y + an - 1(x) y + ....+ a1(x) Y + a (x)Y = g(x)
    n 0

    Donde los coeficientes para son funciones reales, con .
    Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal.

    • Ecuaciones diferenciales ordinarias:
    aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

    • Ecuaciones en derivadas parciales:
    aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

     Factor Integrante:

    El factor integrante e " P(x) dx se utiliza en las ecuaciones lineales y en las ecuaciones tipo bernoulli para poder obtener su solución.

     Familia De Curvas:

    Una ecuación F(x) + c, donde c es una constante arbitraria que determina el desplazamiento vertical u horizontal de la grafica de la función, genera una familia de curvas.

     Función Homogénea:

    Cuando una función f tiene la propiedad
    F (tx, ty) = ta f(x,y)
    Para un numero real a, se dice que es una función homogénea de grado a; por ejemplo, f(x,y) = x3 + y3 es homogénea de grado 3, porque
    F(tx,ty) = (tx)3 + (ty)3 = t3(x3 + y3)= t3f(x,y).
    Mientras que f(x,y = x3 + y3 + 1 no es homogénea. Una ecuación diferencial de primer orden,
    M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
    Es homogénea si los coeficientes M y n, a la vez, son funciones homogéneas del mismo grado.

     Diferencial Exacta:

    Una ecuación diferencial M(x,y) + N(x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencia de alguna función F(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma
    M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
    Es una ecuación diferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

     Ecuación de Bernoulli:

    La ecuación diferencial
    dy + P(x)y = f(x)yn
    Dx
    En que n es cualquier numero real, es la ecuación de Bernoulli. La sustitución u = y 1-n reduce cualquier ecuación de la forma anterior a una ecuación lineal.

    Nota: hemos vuelto a enviar el trabajo porque no teniamos conocimiento de que no lo recibiria en fisico.
    Le pedimos mil disculpas por las molestias causadas.

28. Figueredo Anais 15 jun 2010 - 07:42 PM

    Figueredo Anais
    18764385
    Ing.Civil

    Reseña histórica.
    Las primeras ecuaciones diferenciales fueron resueltas en el siglo XVII (17) por Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli en problemas de Geometría y Mecánica al principio que se originaron estos descubrimientos hicieron creer que las soluciones de todas las ecuaciones deferenciales que se originaban el problema geométricos y físicos podían expresarse podían expresarse por medio de las funciones elementales del cálculo. La mayoría de estos primeros esfuerzos fueron orientados al desarrollo de técnicas ingeniosas para resolver ecuaciones diferenciales por medios de recursos aplicados durante el siglo XVIII, fueron desarrollando procedimientos más sistemáticos, principalmente por Euler, Lagrange y Laplece.En 1820, Cauchy obtuvo el primer “teorema de Existencia “para las ecuaciones diferenciales, pero en 1841, José Liouville, demostró tal condición no siempre era posible con medios elementales.
    Ya que Newton, creador junto con Leibniz del cálculo infinitesimal observo que si dny/dxn = 0, entonces y(x) es un polinomio de grado n − 1, en particular, y depende de n constantes arbitrarias, aunque esta afirmación tuvo que esperar hasta el siglo XIX para poder ser demostrada con rigor. Los matemáticos de la época con frecuencia usaban argumentos físicos como por ejemplo: si y (t) denota la posición en el tiempo t de una partícula, entonces dy/dt es su velocidad. Si dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es decir, la partícula no se mueve y su posición, por tanto, permanece constante.
    En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouilli publicaron soluciones independientes. La de Jean Bernouilli es la que se encuentra habitualmente en los textos de mecánica el cual dice:
    Consideremos un cable homogéneo sujeto por sus dos extremos que suponemos a la misma altura y que distan dos a uno del otro y sea ρ la densidad del cable. Sea y = y(x) la función que describe la posición del cable. Por conveniencia se asumirá que la altura mínima del cable ocurre en x = 0 (o en otras palabras,y0 (0) = 0).
    En 1693 Huygens habla explícitamente de ecuaciones diferenciales y en el mismo año, Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales son funciones de elementos del triangulo característico.
    El estudio de funciones minimizantes llevo al descubrimiento del cálculo de variaciones por Euler a mediados del siglo XVIII y Lagrange a finales del siglo XVIII mejoró y amplió los métodos de Euler. Por otra parte, la catenaria la cual dice que de entre todas las curvas de longitud dada, la que minimiza la energía potencial es precisamente la catenaria. Si y : [−a, a] IR es la función que describe la forma de la catenaria por la cual se puede obtener por dos caminos distintos: a partir de las leyes de Newton o como la curva que minimiza una cierta magnitud física. Se vio que muchos problemas físicos poseen esta dualidad. La reformulación de las leyes físicas por medio de funciones minimizantes fue hecha por Hamilton a mediados del siglo XIX. Leibniz descubrió la técnica de separación de variables en 1691. También redujo en el mismo año la ecuación homogénea dy/dx = f(y/x) a una separable de primer orden del modo usual: con el cambio y = vx. En 1694, Leibniz, publicó la resolución de la ecuación:
    dy/dx + p(x) y = q(x).
    En 1694, Leibniz y Jean Bernouilli estudiaron el problema de encontrar la familia de curvas que cortan con un ángulo dado a una familia de curvas dadas. Jean Bernouilli señaló que este problema es importante para determinar las trayectorias de los rayos de luz que recorren un medio no uniforme porque dichos rayos cortan ortogonalmente los llamados frentes de luz. El problema fue resuelto de forma general e independiente por Leibniz y por Jean Bernouilli en 1698. El método empleado es el mismo que se usa hoy en día. Jean Bernouilli planteó el problema de determinar el movimiento de un proyectil en un medio cuya resistencia es proporcional a una potencia de la velocidad.
    En sus esfuerzos por tratar el problema de la cuerda vibrante, Jean Bernouilli en 1724, planteó y resolvió la ecuación d2y/dx2 =k2y. Anteriormente se dedujo la ecuación que debe satisfacer un péndulo simple: d2θ/dt +mg senθ = 0. Es de destacar que antes de la solución de Jean Bernouilli, ni se conocía la solución del péndulo simple, ni la que se obtiene tras aproximar sen θ por θ. Euler comenzó a considerar ecuaciones de orden superior a uno en1728. En 1734, el único método disponible por Euler fue la utilización de series y obtuvo cuatro series distintas.
    D’Alembert observa que el conocimiento de una solución particular y de la solución general de la homogénea conduce, por adición, a la solución general de la no homogénea. Lagrange estudia cómo obtener soluciones particulares y a él se le debe también el método de variación de parámetros

    Ecuaciones diferenciales
    Definición: Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que involucre una función desconocida y alguna de sus derivadas.
    Las ecuaciones diferenciales se clasifican en:
    Ordinarias: cuando la función desconocida o incógnita depende de una variable.
    Parciales: cuando la función desconocida o incógnita depende de mas de una variable.
    Otra clasificación:
    Por el orden: el orden de una ecuación diferencial, es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.
    Por el grado: el grado de una ecuación diferencial es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.
    Solución de una ecuación diferencial
    Una función
    , se dice que es una solución de una ecuación diferencial, si al sustituir “
    ”, y las derivadas involucradas en la ecuación diferencial, esta se satisface para todos los valores de x.
    Para hallar esa función muchas veces el problema se reduce a resolver antiderivadas o integrales indefinidas.
    Resolver una ecuación diferencial significa hallar todas sus soluciones.
    Definición : Sea f una función definida en el intervalo cerrado
    y si existe el
    y es único para cualquier subdivisión del intervalo
    en “n” subintervalos de la forma
    con amplitud
    y para cualquier elección de
    tal que
    siendo
    • Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

    • Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

    En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.
    Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.
    Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.
    Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.
    En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo.
    Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

    Tipos de ecuaciones diferenciales
    • Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
    Si F es esta relación o función, la ecuación diferencial ordinaria (EDO) es
    (1a)
    La ecuación diferencial lineal más general, de orden n está dada por:
    (1b)
    Donde los ai representan funciones dependientes de t.
    Una solución de la ecuación (1a) o (1b) será una "familia" de curvas o funciones del tipo que substituida dentro de la ecuación la convierte en una igualdad en la que todos los términos son conocidos.
    Ecuación de variables separables
    Son EDOs de la forma:
    En donde es posible "despejar" todos los términos con la variable dependiente en función de la variable independiente, quedando ahora la ecuación:
    En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación
    De donde es posible obtener la solución
    Ecuación diferencial de Euler o de Cauchy
    Esta ecuación tiene la forma:
    • Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
    Solución general y solución completa
    Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas.
    Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en el ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico.

29. Kerlin Falco 15 jun 2010 - 09:39 PM

    República Bolivariana de Venezuela.
    Ministerio del Poder Popular para la Educación.
    Universidad Nacional Experimental
    Politécnica de las Fuerzas Armadas. UNEFA
    Valencia Edo. Carabobo

    Alumna:

    Kerlin Falco C.I.:18.999.480

    Aula: 01, Sección, I-001-N

    Valencia, Junio del 2010

    Reseña Histórica de ecuaciones Diferenciales:

    Una ecuación es una igualdad condicional que se cumple sólo para las soluciones de la misma. Así, en una ecuación algebraica como x – 2 = 0, la igualdad sólo se cumple para x = 2.
    En forma similar, una ecuación diferencial, constituida por funciones y sus derivadas, es una igualdad que se cumple sólo para las funciones que son soluciones de la misma. Así, si tenemos f(x) = f’(x), la solución será la función exponencial “e elevado a la x”, ya que es la única función cuya derivada es igual a la función misma.

    Las primeras ecuaciones diferenciales fueron resueltas en el siglo XVII (17) por Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli en problemas de Geometría y Mecánica al principio que se originaron estos descubrimientos hicieron creer que las soluciones de todas las ecuaciones deferenciales que se originaban el problema geométricos y físicos podían expresarse podían expresarse por medio de las funciones elementales del cálculo. La mayoría de estos primeros esfuerzos fueron orientados al desarrollo de técnicas ingeniosas para resolver ecuaciones diferenciales por medios de recursos aplicados durante el siglo XVIII, fueron desarrollando procedimientos más sistemáticos, principalmente por Euler, Lagrange y Laplece.En 1820, Cauchy obtuvo el primer “teorema de Existencia “para las ecuaciones diferenciales, pero en 1841, José Liouville, demostró tal condición no siempre era posible con medios elementales.

    Matemáticos que hicieron aportes a la Teoría de las Ecuaciones Diferenciales.

    Niels Abel
    El matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) hizo aportes en ecuaciones integrales, funciones elípticas, álgebra (probó que las ecuaciones poli nómicas de quinto grado no tienen soluciones exactas. Identidad de Abel.
    Daniel Bernoulli
    El suizo Daniel Bernoulli (1700-1792) hace aportes en dinámica de fluidos (principio de Bernoulli), probabilidad, mecánica (incluyendo el problema de la cuerda vibrante).
    Jacques Bernoulli
    Jacques Bernoulli (1654-1705), suizo, hace aportes a la mecánica, geometría, astronomía, probabilidad, cálculo de variaciones y problemas de la braquistócrona. La ecuación de Bernoulli fue propuesta por él en 1695 pero resuelta independientemente por Leibniz y su hermano Jean. Cadena colgante (catenaria).
    Jean Bernoulli
    Jean Bernoulli (1667-1748), matemático suizo, resuelve problemas de trayectorias ortogonales en 1698, mecánica, problema tautócrono; propuso y resolvió el problema de la baquistrócona (también resuelto por su hermano Jacques). Introdujo la idea del factor integrante.

    Entre muchos otros que en diferentes fechas tambien hicieron su aporte y contribuyeros en dichas ecuaciones.

    DEFINICIONES BASICAS:

    Orden de la ecuación:

    El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación.

    Grado de la ecuación:

    Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómicas, de no ser así se considera que no tiene grado.

    Ecuación diferencial lineal:

    Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
    Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
    En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
    Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

    Ejemplos:
    es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.
    es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
    es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.

    Tipos:

    Ecuación diferencial de primer orden
    Ecuación diferencial lineal
    Ecuación diferencial exacta
    Ecuaciones homogéneas

    Ecuación diferencial ordinaria:
    Las matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable.
    Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.
    Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.
    Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.

    Ecuación en derivadas parciales
    En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.

    Ecuación diferencial lineal
    Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:
    • Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
    • En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
    • Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
    Ejemplos:
    • es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.
    • es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
    • es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.
    Usos
    Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.
    • En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

    Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.
    • La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

    donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

    Solución de una ecuación diferencial
    Tipos de soluciones
    Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:
    1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
    2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
    3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

    Nota:
    Son algunos de los conceptos y ejemplos que puedo apartar, ya que dicho trabajo es sumamente largo, y usted nos pide tres paginas.
    Muchas gracias y disculpe las molestias.

30. figueredo anais 15 jun 2010 - 10:12 PM

    profe jose luis pinzone esta conmigo en el trabajo lo que paso fue qur lo haci y le dije a mi hermana que lo mandara y no lo agrego pero los dos trabajamos juntos y disculpe

31. Desiree Ochoa 13 jul 2010 - 07:46 PM

    3er Semestre
    seccion 002

    La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombreve la necesidad de contar, comienza la historia del calculo, o de las matemáticas.

    Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas, y más útiles. El concepto de matemáticas, se comenzó a formar, desde que el hombre vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó a la creación de sistemas de numeración que inicialmente se componían con la utilización de los dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosa la implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría de los problemas que se presentaban con continuidad

    las Ecuaciones Diferenciales es tan
    viejo como el del Cálculo mismo. En 1671 Newton
    (1643-1729) trabajó sobre la teoría de “Fluxiones”
    (Una fluxión viene a ser la derivada de una
    “fluyente”, el cual es el nombre que Newton daba a
    un variable dependiente). Su investigación se
    relacionó con “Ecuaciones Fluxionales” que ahora
    llamaríamos ecuaciones diferenciales.

32. Luis Rivero 13 jul 2010 - 07:48 PM

    Seccion 002 3er semestre ing civil.

    El matemático y filosofo Gottfried Wilhelm Leibniz
    (1646-1716) también trabajó en ecuaciones
    diferenciales; encontró el método para las
    ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
    En 1690, Jakob Bernoulli (1654-1705) mostró que
    el problema de determinar la isócrona (curva
    vertical plana en la cual una partícula que se
    deslice sobre ella hasta el fondo tardará un tiempo
    fijo que no depende del punto inicial) es
    equivalente a resolver una ecuación diferencial de
    primer orden no lineal; él la resolvió por el método
    de variables separables (el método general sería
    enunciado por Liebniz). El artículo de Bernoulli se
    convirtió en una “milestone” en la historia del
    Cálculo.

33. jack correa 16 jul 2010 - 10:39 PM

    jack correa

    I002 ing.civil. nocturno

    Reseña histórica
    Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones.
    La historia de las ecuaciones diferenciales comienza a finales del siglo
    XVII con los trabajos de I. Newton (1642—1727) y G. Leibniz (1646—1716). Con el desarrollo posterior de la mecánica, la física, y el electromagnetismo, las ecuaciones diferenciales encontraron uso creciente como instrumentos para la descripción matemática de los fenómenos naturales.

    Hasta el siglo XIX la cuestión primordial era encontrar soluciones explícitas para las ecuaciones diferenciales que surgían en el estudio de problemas en la mecánica y la física. Los trabajos de L. Euler (1707—1783), los Bernoulli (ocho miembros de esta familia suiza fueron matemáticos a lo largo del S. XVIII), J. d’Alembert (1717—1783), J.L. Lagrange (1736—1813) y P.S. Laplace (1749—1827) configuran este período. Se trataba de encontrar métodos de resolución que, para tipos particulares de ecuaciones, permitieran representar las soluciones mediante fórmulas que involucraran los datos de las ecuaciones, o bien como suma de una serie.
    Orden de una ecuación diferencial: El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación.
    Grado de una ecuación diferencial: Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
    Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
    • Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
    • Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
    TIPOS
    Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
    Resolver la ecuación diferencial:
    y' = p(x).y = 0
    con la condición y(0) = 1 siendo :
    Esta ecuación es del tipo lineal por ser de primer grado en y' e y. La ecuación tendrá una solución para cada uno de los intervalos indicados. Calculamos la primera de ellas con la condición y(0) = 1.
    y' + 2y = 0 ; dy + 2y.dx = 0 □(1/y) ; dy + 2.dx = 0 ; Ln y + 2x = Ln C
    Si tomamos antilogaritmos tenemos :
    La ecuación resultante toma para x = 1 el valor e-2 con lo que la siguiente ecuación tenemos que resolverla en la forma:
    y' + y = 0 ; con la condición y(1) = e-2
    Tenemos según eso:
    y' + y = 0 ; dy + y.dx = 0 ; □(1/y) dy + dx = 0 ; Ln y + x = Ln C ; y = C.e-x
    y considerando el valor y(1) = e-2
    Ecuación de variables separables
    Ecuación exacta
    Ecuación lineal
    Ecuación homogénea
    Ecuaciones de orden superior
    APLICACIONES
    Aplicaciones a la Biología: Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era:
    dy / dt = y
    Con solución
    y = ce
    Aplicaciones a la física: Debido a que algunos fenómenos físicos son calculados con estas ecuaciones.
    Aplicaciones a la Química: En cuanto al cálculo de algunas mezclas químicas.
    Aplicaciones a la Economía: En cuanto a la aplicación de oferta y demanda de algunos productos, etc.