Tal vez, esta sea una de las ecuaciones diferenciales de mayor importancia, pues muchas de las aplicaciones que trataremos se modelan por medio de una ecuación de este tipo.

Definición [Ecuación lineal]
Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma

 

\begin{displaymath} \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \end{displaymath}

 

donde $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones reales, se llama ecuación diferencial lineal.

 

Observación: una ecuación diferencial lineal de orden $n$ tiene la forma

 

\begin{displaymath} a_{n}(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x) y^{\prime} + a_0(x) y = f(x) \end{displaymath}

 

donde los coeficientes $a_i(x)$ son funciones reales y $a_n(x) \neq 0$. Note que cuando $n=1$ tenemos que

 

\begin{displaymath} a_1(x) y^{\prime} + a_0(x)y = f(x) \end{displaymath}

 

y al dividir por $a_1(x)$

 

\begin{displaymath} y^{\prime} + \frac{a_0(x)}{a_1(x)} y = \frac{f(x)}{a_1(x)} \end{displaymath}

 

La cual tiene la forma

 

\begin{displaymath} y^{\prime} + P(x)y = Q(x) \end{displaymath}

 

 

donde $P(x) = \frac{a_0(x)}{a_1(x)} $ y $Q(x) = \frac{f(x)}{a_1(x)} $.

Teorema

La solución general de la ecuación diferencial de primer orden

 

(1.10)

 

está dada por

 

\begin{displaymath} y = e^{- \int P(x) dx} \left(\int Q(x) e^{\int P(x) dx } dx \right) \end{displaymath}

 

 

Demostración
Reescribiendo la ecuación 1.10 como

 

\begin{displaymath} \left(P(x) y - Q(x) \right) dx - dy = 0 \end{displaymath}

 

podemos comprobar que $e^{\int P(x) dx} $ es un factor integrante. Multiplicando la ecuación 1.10 por este factor tenemos que

 

 

\begin{displaymath} e^{\int P(x) dx } \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \end{displaymath}

 

de donde

 

\begin{displaymath} \frac{d \left(y e^{\int P(x) dx } \right) }{dx} = Q(x) e^{\int P(x) dx} \end{displaymath}

 

e integrando respecto con $x$

 

 

\begin{displaymath} y e^{\int P(x) dx} = \int \left( Q(x) e^{\int P(x) dx} \right) dx \end{displaymath}

 

como se quería.

Ejemplo:

Resolver la ecuación

 

 

\begin{displaymath} x \frac{dy}{dx} - 4y = x^6 e^x \end{displaymath}

 

Reescribiendo la ecuación tenemos

 

 

\begin{displaymath} \frac{dy}{dx} - \frac{4}{x} y = x^5 e^x \end{displaymath}

 

El factor integrante está dado por

 

 

\begin{displaymath} \mu(x)= e^{-4 \int \frac{dx}{x} } = e^{-4 Ln(x)} = \frac{1}{x^4} \end{displaymath}

 

Con lo cual la solución está dada por

 

 

\begin{displaymath} \frac{y}{x^4} = \int x e^x dx = x e^x - e^x + c \end{displaymath}

 

Es decir, $y = x^5 e^x - x^4 e^x + cx^4$

Ejemplo:

Considere la ecuación diferencial

 

(1.11)

 

Encuentre una función $P(x)$ de forma tal que la ecuación diferencial (1.11) sea exacta y resuelva dicha ecuación diferencial.

Para que la ecuación (1.11) sea exacta debe cumplir

 

 

\begin{displaymath} \frac{\partial M}{\partial y} = x^2 = \frac{\partial N}{\partial x} = 2x P(x) + x^2 P^{\prime}(x) \end{displaymath}

 

De aquí obtenemos la ecuación diferencial lineas en $P$ y $x$

 

 

\begin{displaymath} x^2 = 2x P(x) + x^2 P^{\prime}(x) \Rightarrow P^{\prime}(x) + \frac{2}{x} P(x) = 1 \end{displaymath}

 

cuya solución es

 

 

\begin{displaymath} P(x) = \frac{x}{3} + \frac{c}{x^2} \end{displaymath}

 

De donde tomando $c=0$ obtenemos que $P(x)=\frac{x}{3}$.

Ejemplo:
Compruebe que la ecuación diferencial

 

 

\begin{displaymath} y^{\prime} + P(x) y = Q(x) y Ln(y) \end{displaymath}

 

donde $P(x)$ y $Q(x)$ son funcuiones reales, se transforma en una ecuación diferencial lineal al hacer $u=Ln(y)$.

Como

 

 

\begin{displaymath} u = Ln(y) \Rightarrow u^{\prime} = \frac{y^{\prime}}{y} \Rightarrow y^{\prime} = u^{\prime} y = u^{\prime} e^{u} \end{displaymath}

 

Sustituyendo

 

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} y^{\prime}+ P(x) y = Q(x) y Ln(y) & \Ri... ... & \Rightarrow & u^{\prime} - Q(x) u = -P(x) \\ \end{array} \end{displaymath}

 

la cual es una ecuación diferencial lineal.

 

ESTUDIANTES:

DEFINIR: ECUACIÓN   DIFERENCIAL  LINEAL  DE  PRIMER  ORDEN.

PASOS  DE  RESOLUCIÓN  DE  DICHA  ECUACIÓN.

RESEÑA    HISTÓRICA   DE  DICHA  ECUACIÓN .  IMPORTANCIA  ,  APLICACIONES.