13 EL PLANO CARTESIANO
La necesidad de orientarse condujo a los seres humanos,
desde la antig¨uedad m´as lejana, a confeccionar
mapas o cartas geogr´aficas y a relacionar los puntos
de una superficie mediante n´umeros.
Para fijar una figura en el espacio o en un plano hace
falta relacionarla con un sistema de referencia. En
el actual sistema geogr´afico, cualquier lugar del mundo
queda determinado con precisi´on si se conocen
su latitud (a) y su longitud (b), es decir, si se tienen su
distancia a al norte o al sur del ecuador, y su distancia
b
al este o al oeste del meridiano de Greenwich.
a
b P
No basta con tener uno s´olo de estos datos, ya que
hay lugares que tienen la misma latitud a. Obs´ervese
la siguiente figura:
REN´E DESCARTES (1596-1650)
Considerado el padre de la filosof´ıa moderna, Ren´e Descartes fue un
pensador completo, que abord´o tambi´en el estudio de las ciencias.
En f´ısica, sin saber que Galileo ya lo hab´ıa hecho, resolvi´o el
problema de las leyes que rigen el movimiento de ca´ıda de los
cuerpos. En matem´aticas, fue el creador de la geometr´ıa anal´ıtica,
para lo que estableci´o el sistema de coordenadas ortogonales,
conocido en la actualidad como sistema cartesiano. Asimismo,
contribuy´o a simplificar y normalizar la nomenclatura algebraica.
Tras escribir las Reglas para la direcci´on del esp´ıritu (1628-1629)
y El mundo o Tratado de la luz (1633), en el que se incluy´o su
Tratado del hombre, public´o su obra de mayor relieve, el Discurso
del m´etodo (1637), que serv´ıa de pr´ologo a la edici´on conjunta de
tres ensayos de´ındole cient´ıfica: la Di´optrica, la Geometr´ıa y los
Meteoros. En 1641 escribi´o Meditaciones metaf´ısicas, y en 1644, los
Principios de la filosof´ıa. Por ´ultimo, en 1649 se public´o su obra
Pasiones del alma.
En el sistema de
pensamiento de
Descartes, la filosof´ıa
engloba a todas las
ciencias. Represent´o el
conocimiento como un
´arbol cuyas ra´ıces son la
metaf´ısica y cuyo tronco
es la f´ısica, del que salen
tres ramas principales
-la medicina, la
mec´anica y la´etica- de
las que derivan todas las
otras ciencias.
Consideraba que hab´ıa tres sustancias: una infinita y
autosubsistente, es decir, que existe por s´ı misma, a la que
denomin´o res infinita e identific´o con Dios, y dos sustancias finitas,
que dependen para su existencia de la res infinita, a las que
llam´o res cogitans o sustancia pensante y res extensa o sustancia
corp´orea, cuya principal caracter´ıstica es la extensi´on en el espacio.
El pensamiento filos´ofico de Descartes se fundamenta en un m´etodo
que consiste en tomar un punto de partida indudable sobre el que
construir todo el conocimiento. En matem´aticas cre´o la geometr´ıa
anal´ıtica seg´un el mismo principio, a partir de un sistema de
coordenadas formado por dos rectas que se cortan en un punto,
denominado origen.
Descartes fue el inventor de la notaci
´on algebraica moderna, en la cual las
constantes est´an representadas por las
primeras letras del alfabeto, a, b, c, y las
variables o inc´ognitas por las´ultimas, es
decir, x, y, z.
a a a
Todos los puntos del globo terrestre que est´an situados
en el mismo paralelo, a una distancia a del
ecuador tienen la misma latitud. Lo mismo sucede
con s´olo la longitud.
En matem´aticas, el sistema de referencia se forma
sobre un plano con dos rectas perpendiculares que se
intersecan en un punto, que se denota con la letra O.
DANNY YANEZ Y EFRAIN HERNANDEZ
ING. CIVIL 002
1) Definición del segmento en el plano cartesiano
El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.
plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1.Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
2) DIVISION DE UN SEGMENTO CON UNA RAZON DADA
Dado un segmento cuyos extremos sean los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2), es posible encontrar las coordenadas de un punto P (x, y), tal que divida al segmento en una razón tal que
Como puede observarse, se han formado 2 triángulos semejantes de donde se puede establecer la siguiente relación:
, es decir:
De donde: x – x1 = r (x2 – x)
x – x1 = r x2 – r x
x – r x = x1 +r x2
Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A ( 1, 1) y B (11, 6) en una razón tal que:
De acuerdo a la relación planteada, se pueden aplicar las fórmulas obtenidas:
De manera similar: y = 3 ; por lo que las coordenadas del punto buscado son: P(5, 3)
Punto medio
El punto medio es un caso particular de la división de un segmento en una razón dada, en la cual r = 1. De acuerdo con ello, se pueden obtener las siguientes expresiones:
Ejemplo
Obtener el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A (3, –2) y B(–5, 4)
Pm:
Por lo que el punto medio es: Pm (–1,1)
3) PENDIENTE DE UN SEGMENTO, ALINIACION DE 3 O MAS PUNTOS:
Se define como pendiente de un segmento, al grado de inclinación que dicho segmento posee con respecto a un sistema coordenado. Matemáticamente se dice que la pendiente de un segmento es una diferencia de ordenadas entre una diferencia de abscisas y se denota con la letra m.
Sea los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) que definen el segmento su pendiente será:
*Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman 4 ángulos congruentes.
*Dos rectas son paralelas si nunca se cortan o son coincidentes
4) Angulo entre 2 segmento
El ángulo formado por dos segmentos es igual al ángulo agudo determinado por los vectores normales de dichos planos.
Dos segmento son perpendiculares si vectores normales son ortogonales.
5) Lugar geométrico
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.
Ejemplos
Estos son varios ejemplos de lugares geométricos en el plano:
• El lugar geométrico de los P que equidistan a dos puntos fijos A y B (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz. Dicho de otra forma, la mediatriz es la recta que interseca perpendicularmente a un segmento AB en su punto medio ((A + B) / 2).
• La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan dichas rectas), lo divide por la mitad. Esta recta cumple la propiedad de equidistar a las dos anteriores, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.
• Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si, por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo).
6) Representación grafica y analitica
Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla.
Las gráficas describen relaciones entre dos variables.
La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable independiente o variable x.
La que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente o variable y.
La variable y está en función de la variable x.
Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer conclusiones.
Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha, analizando cómo varía la variable dependiente, y, al aumentar la variable independiente, x.
En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más kilos En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más kilos de patatas el precio se va incrementando.
En esta gráfica observamos que la mayor parte de los alumnos obtienen una nota comprendida entre 4 y 7.
analítica
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.
Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:
1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican # dicha ecuación.
Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy =
Simétrica
Es la exacta correspondencia de todas las partes de una figura respecto de un centro, un eje o un plano.
La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.
En condiciones formales, decimos que un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada, si, cuando aplicado al objeto, esta operación no cambia el objeto o su aspecto. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan.
Asintotas:
es una función cuya representación es gráfica y en forma de línea recta o parabólica que, dentro de un trazo aleatorio, su trayectoria es de aproximación a una curva que representa a otra gráfica de otra función; ambas tienen sus límites dentro del área definida por la integral que asocia la razón de ambos gráficos.
Dos hipérbolas y sus asíntotas.
se puede decir que la curva A es una asíntota de la curva C si se establece una distancia mínima y que existe un trecho no limitado por la curva C que dista de la asíntota A menos de la distancia mínima establecida.
En general la curva C puede parecer intersecar varias veces a su asíntota A. Sin embargo aquello que hace a A una asíntota de C es el hecho que C se aproxima a A por un trecho ilimitado sin jamás coincidir con A, y esto significa prescindir de otras eventuales y ocasionales intersecciones
DANNY YANEZ Y EFRAIN HERNANDEZ
ING. CIVIL 002 NOCTURNO
1) Definición del segmento en el plano cartesiano
El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.
plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1.Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
2) DIVISION DE UN SEGMENTO CON UNA RAZON DADA
Dado un segmento cuyos extremos sean los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2), es posible encontrar las coordenadas de un punto P (x, y), tal que divida al segmento en una razón tal que
Como puede observarse, se han formado 2 triángulos semejantes de donde se puede establecer la siguiente relación:
, es decir:
De donde: x – x1 = r (x2 – x)
x – x1 = r x2 – r x
x – r x = x1 +r x2
Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A ( 1, 1) y B (11, 6) en una razón tal que:
De acuerdo a la relación planteada, se pueden aplicar las fórmulas obtenidas:
De manera similar: y = 3 ; por lo que las coordenadas del punto buscado son: P(5, 3)
Punto medio
El punto medio es un caso particular de la división de un segmento en una razón dada, en la cual r = 1. De acuerdo con ello, se pueden obtener las siguientes expresiones:
Ejemplo
Obtener el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A (3, –2) y B(–5, 4)
Pm:
Por lo que el punto medio es: Pm (–1,1)
3) PENDIENTE DE UN SEGMENTO, ALINIACION DE 3 O MAS PUNTOS
Se define como pendiente de un segmento, al grado de inclinación que dicho segmento posee con respecto a un sistema coordenado. Matemáticamente se dice que la pendiente de un segmento es una diferencia de ordenadas entre una diferencia de abscisas y se denota con la letra m.
Sea los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) que definen el segmento su pendiente será:
*Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman 4 ángulos congruentes.
*Dos rectas son paralelas si nunca se cortan o son coincidentes
4) Angulo entre 2 segmento
El ángulo formado por dos segmentos es igual al ángulo agudo determinado por los vectores normales de dichos planos.
Dos segmento son perpendiculares si vectores normales son ortogonales.
Ejemplo:
5) Lugar geométrico
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.
Ejemplos
Estos son varios ejemplos de lugares geométricos en el plano:
• El lugar geométrico de los P que equidistan a dos puntos fijos A y B (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz. Dicho de otra forma, la mediatriz es la recta que interseca perpendicularmente a un segmento AB en su punto medio ((A + B) / 2).
• La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan dichas rectas), lo divide por la mitad. Esta recta cumple la propiedad de equidistar a las dos anteriores, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.
• Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si, por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo).
6) Representación grafica y analitica
Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla.
Las gráficas describen relaciones entre dos variables.
La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable independiente o variable x.
La que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente o variable y.
La variable y está en función de la variable x.
Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer conclusiones.
Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha, analizando cómo varía la variable dependiente, y, al aumentar la variable independiente, x.
En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más kilos En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más kilos de patatas el precio se va incrementando.
En esta gráfica observamos que la mayor parte de los alumnos obtienen una nota comprendida entre 4 y 7.
analítica
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.
Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:
1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican # dicha ecuación.
Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy =
Simétrica
Es la exacta correspondencia de todas las partes de una figura respecto de un centro, un eje o un plano.
La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.
En condiciones formales, decimos que un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada, si, cuando aplicado al objeto, esta operación no cambia el objeto o su aspecto. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan.
Asintotas:
es una función cuya representación es gráfica y en forma de línea recta o parabólica que, dentro de un trazo aleatorio, su trayectoria es de aproximación a una curva que representa a otra gráfica de otra función; ambas tienen sus límites dentro del área definida por la integral que asocia la razón de ambos gráficos.
Dos hipérbolas y sus asíntotas.
se puede decir que la curva A es una asíntota de la curva C si se establece una distancia mínima y que existe un trecho no limitado por la curva C que dista de la asíntota A menos de la distancia mínima establecida.
En general la curva C puede parecer intersecar varias veces a su asíntota A. Sin embargo aquello que hace a A una asíntota de C es el hecho que C se aproxima a A por un trecho ilimitado sin jamás coincidir con A, y esto significa prescindir de otras eventuales y ocasionales intersecciones
DEFINICION DEL SEGMENTO EN EL PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
DIVISION DE UN SEGMENTO CON UNA RAZON DADA
La división de un segmento, es cuantas veces divides dicho segmento en una cantidad determinada. Por ejemplo si tu segmento mide 10 metros, y te piden dividirlo a una razon de 1/3, sería dividir entre 3 ,es decir 10/3= 3.3333 m.
La pendiente de un segmento se obtiene con la siguiente relación:
m=(Yf - Yi) / (Xf - Xi) donde:
m= Pendiente
Yf= Valor final de la coordenada en el eje Y (ordenada final)
Yi = Valor inicial de la coordenada en el eje Y (ordenada inicial)
Xf= Valor final de la coordenada en el eje X (absisa final)
Xi = Valor inicial de la coordenada en el eje X (absisa inicial)
Ejemplo: pendiente del segmento que une los puntos (1,3) y (2, 6)
Yf=6 Yi=3 Xf=2 Xi= 1
m= (6-3)/(2-1)= 3/1 = 3; por lo tanto la pendiente es 3
PENDIENTE DE UN SEGMENTO, ALINEACION DE TRES O MAS PUNTOS
Se define como pendiente de un segmento, al grado de inclinación que dicho segmento posee con respecto a un sistema coordenado. Matemáticamente se dice que la pendiente de un segmento es una diferencia de ordenadas entre una diferencia de abscisas y se denota con la letra m.
Sea los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) que definen el segmento su pendiente será:
*Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman 4 ángulos congruentes.
*Dos rectas son paralelas si nunca se cortan o son coincidentes
Angulo entre dos segmentos
El ángulo formado por dos segmentos es igual al ángulo agudo determinado por los vectores normales de dichos planos.
Dos segmento son perpendiculares si vectores normales son ortogonales.
Definición de Lugar geométrico
Se denomina lugar geométrico al conjunto de los puntos del plano que satisfacen una determinada propiedad. Dicha propiedad se enuncia habitualmente en términos de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas en el plano y/o en términos del valor de un ángulo.
En muchas ocasiones, los lugares geométricos que satisfacen una propiedad dada son elementos sencillos (una recta, una circunferencia, una curva cónica,...), mientras que en otras ocasiones pueden corresponderse con trazados mucho más complejos.
Ejemplos de lugares geométricos elementales son la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo, una circunferencia, una recta paralela a otra,...
También las curvas cónicas se pueden considerar como lugares geométricos. Así una elipse es el lugar geométrico de la suma de las distancias de un punto a dos dados (los focos) que es constante.
Representación grafica y analítica
Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla.Las gráficas describen relaciones entre dos variables.
La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable independiente o variable x.La que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente o variable y.La variable y está en función de la variable x.Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer conclusiones.Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha, analizando cómo varía la variable dependiente, y, al aumentar la variable independiente, x.
simetrica
La simetría es la exacta correspondencia de todas las partes de una figura respecto de un centro, un eje o un plano.
La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.
Asíntotas
es una funsion cuya representación es gráfica y en forma de línea recta o parabólica que, dentro de un trazo aleatorio, su trayectoria es de aproximación a una curva que representa a otra gráfica de otra función; ambas tienen sus límites dentro del área definida por la integral que asocia la razón de ambos gráficos.
1:DEFINICIÓN DE SEGMENTO EN EL PLANO CARTESIANO:
1:DEFINICIÓN DE SEGMENTO EN EL PLANO CARTESIANO:
Un segmento no es mas que una fracción de recta que esta comprendido entre dos puntos. en el plano cartesiano el segmento se puede definir de la siguiente manera:
-Si dibujamos una recta y señalamos dos puntos X y Y, la parte de la recta que se encuentra entre ellos podemos denominarla Segmento.Ejemplo: X___________________Y 2: DIVISIÓN DE UN SEGMENTO CON UNA RAZÓN DADA: Si unos de los conceptos de mayor aplicación en la geometria es aquel en el que un punto A(X,Y) llamado punto de división, divide a un segmento de recta en la razón dada r. Ejemplo: r=A1A/AA2 "A" es quien divide la recta en una razón determinada. Como otro ejemplo se explica lo sigiente: La distancia de un segmento B1,D es 1/6 parte del segmento B1,B2. la distancia del segmento D,B2 es de 5/6 de la distancia de B1 y B2. alli el pundo D divide al segmento B1 y B2 en una razon de 1/5. (para obtener este resultado solo dividimos la distancia que hay entre B1,D y D,B2 ) 3: PENDIENTE DE UN SEGMENTO, ALINEACIÓN DE 3 Ó MAS PUNTOS: -Se define como pendiente de un segmento al grado de inclinación que dicho segmento posee con respecto a un sistema de coordenadas. Matematicamente se dice que la pendiente de un segmento es una diferencia de ORDENADAS entre una diferencia de ABSCISAS y se denota con la letra "m". -La alineación de 3 ó mas puntos es el dominio de 3 ó mas segmentos en una misma recta o linea. 4:ÁNGULO ENTRE DOS SEGMENTOS: El Ángulo es una porción de planos o abertura comprendida entre dos segmentos o semirectas que tienen el mismo origen cuyo nombre es vértice.(punto de intersección de los dos segmentos). existen 5 tipos de angulos: -ÁNGULO COMPLEMENTARIO: Son complementarios cuando su sumas es igual a 90º , es decir,a un angulo recto. -ÁNGULO SUPLEMEMTARIO:Es cuando su suma es igual a un ángulo llano, es decir,180º. -ÁNGULO CONSECUTIVO: Son consecutivos cuando tienen solo un lado en común. -ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE: Son opuesto por el vértice si los lados de uno de ellos son semirrectas opuestas de los lado del otro. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. -ÁNGULOS ADYACENTES: Son adyacentes si son censecutivos y forman un ángulo llano. Los ángulos adyacentes son suplementarios. 5:DEFINICIÓN DE LUGAR GEOMETRICO,REPRESENTACIONES GRÁFICAS Y ANALITÍCAS, SIMETRÍA Y ASINTOTAS: * DEFINICIÓN DE LUGAR GEOMETRICO: Se llama lugar geometrico a el conjunto de puntos que cumplen una misma condición o propiedad, este puede ser en una linea curva, una recta, un plano, una superficie curva, un circulo etc. cualquier figura geometrica que este sometida a una o varias condiciones representa un lugar geometrico. *REPRESENTACIONES GRÁFICAS Y ANALITÍCAS: Una grafica es una representación en unos eje de coordenadas de los peres ordenados de una tabla, estas se clasifican en: -VARIABLE INDEPENDIENTE:Es la que se representa en el eje horizontal de la gráfica, llamada tambien VARIABLE X. -VARIABLE DEPENDIENTE:Se representa en la parte vertical de la gráfica, llamada tambien VARIABLE Y. Una vez elaborada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y de ella extraer conclusiones. * SIMETRÍA:Desde el punto de vista geometrico la simetría es un movimiento en el plano o en el espacio que tiene lugar alrrededor de un punto, una recta o hata el mismo plano, esta conserva la forma y el tamaño de las figura original y aparecen cuando una figura se ha mantenido invariante bajo un movimiento alrrededor de un punto o de una recta. * ASINTOTAS: Es una función cuya representación es gráfica y en forma de linea recta o parabolica que , dentro de un trazo aleatorio, su trayectoria es de aproximadamente a una curva que representa a otra gráfica de otra función; ambas tienen sus limites dentro del área definida por la integral que asocia la razón de ambos gráficos.
Definición del Segmento en el Plano Cartesiano
El segmento forma parte de una linea en el plano cartesiano que consiste de dos planos que se le da el nombre puntos externos y todos los puntos en medio de ellos. Los extremos de un segmento forman parte del mismo. Un segmento de extremis AyB se designa AB.
División de un segmento con una razón dada
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:
PA/PB=r
Pendiente de una recta
Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. La notación de pendiente es por la letra m y de acuerdo con la definición, se expresa por m=tg q.
División de un segmento con una razón dada, pendiente de un segmento, alineación de tres o más puntos.
La división de un segmento, es cuantas veces divides dicho segmento en una cantidad determinada. Por ejemplo si tu segmento mide 10 metros, y te piden dividirlo a una razón de 1/3, sería dividir entre 3 ,es decir 10/3= 3.3333 m.
División de un segmento con una razón dada
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:
Ejemplo
¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?
Angulo entre dos segmentos.
se denomina ángulo, en el plano, a la porción de éste comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común denominado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos rayos con origen común. Así, un ángulo determina una superficie abierta (subconjunto abierto de puntos del plano), al estar definido por dos semirrectas, denominándose medida del ángulo a la amplitud de estas semirrectas.
ERIC MENDEZ
HENDERSON ORDOÑES
ING. CIVIL 002 NOCTURNO
PRIMERA PARTE
Definición del segmento en el plano cartesiano
El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.
División de un segmento por una razón dada
La idea es dividir el segmento de forma que si hacés la razón entre las medidas de cada uno de los segmentos que te quedó dé la razón que te dan. Por ejemplo si te dicen que dividas un segmento en una razón de 2/3, el procedimiento seria:
Por un extremo del segmento trazas una semirrecta que forme con el segmento un ángulo chico (30º o 40º)
Sobre esta semirrecta, desde el extremo del segmento mides 2cm yhaz una marca; desde esta marca mide tres cm y haz otra marca.
Une esta última marca con el otro extremo del segmento ( el que aún no habías usado)
Te quedó un triángulo
Traza una recta paralela al último segmento que trazaste, que pase por la primera marca que hiciste ( la del segmento que medía 2cm)
Donde esta recta corte al segmento lo divide de forma que la razón es 2/3
Pendiente de un segmento
La pendiente de un segmento mide el grado de inclinación del segemento respecto al eje X.
Si el segmento pasa por los puntos (x1. y1) y (x2,y2) en tonces la pendiente es m =(y2 - y1)/(x2 - x1)
Por ejemplo: calcula la pendiente del segmento de la recta que pasa por (1,5) y (-3,6)
m = (6 - 5) /( -3 - 1) = 1/ -4 = - 1/4
por se la pendiente negativa entonces el grado de inclinación es mayor de 90º
Alineación de tres o mas puntos
Los vectores también pueden servir por comprobar si tres o más puntos A, B, C, D, están alineados, es decir, si existe una recta que pasa por todos ellos.
Nosotros sólo consideraremos el caso de tres puntos A, B y C, pudiéndose generalizar todo lo que diremos a más de tres puntos.
Si A, B y C están alineados, entonces los vectores y tienen la misma dirección, es decir, son paralelos. Y si A, B y C no están alineados, entonces estos vectores y no son paralelos. Por lo tanto, la condición que han de verificar A, B y C para que estén alineados es que los vectores y sean paralelos (recordemos que y son paralelos si tienen las componentes proporcionales).
Si las coordenadas de A, B y C son A(a1,a2), B(b1,b2) y C(c1,c2), entonces
= (b1 - a1, b2 - a2)
= (c1 - a1, c2 - a2)
y la condición de paralelismo entre y es
Rosemary Vicuña
C.I. 12.996.803
Ingeniería Civil
Turno Nocturno
Definición del Segmento en el Plano Cartesiano.-
El plano cartesiano esta constituido por dos rectas numéricas una línea vertical y una horizontal las cuales se cortan en un punto medio. La recta horizontal es llamada eje de las abcisas o de las equis (X) y la vertical es llamada eje de las ordenadas o también llamadas de las y (Y) y el punto medio donde se cortan es llamado punto de origen. El plano cartesiano tiene como propósito describir las posiciones de los puntos y que están representadas por sus coordenadas o pares ordenados.
División de un segmento con una razón dada.-
En un segmento cuyos extremos sean los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2), es posible hallar las coordenadas de un punto P (x, y), tal que divida al segmento en una razón tal que
Como se logra notar se han formado 2 triángulos parecidos de donde se puede establecer la siguiente relación: Es así que:
En donde: x – x1 = r (x2 – x)
x – x1 = r x2 – r x
x – r x = x1 +r x2
Por ejemplo buscando las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento en los cuales los extremos son los puntos A ( 1, 1) y B (11, 6) en una razón tal que:
De acuerdo a la relación planteada, se pueden aplicar las fórmulas obtenidas:
De manera similar: y = 3 ; por lo que las coordenadas del punto buscado son: P(5, 3)
Punto medio
El punto medio es un caso particular de la división de un segmento en una razón dada, en la cual r = 1. De acuerdo con ello, se pueden obtener las siguientes expresiones:
Ejemplo
Obtener el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A (3, –2) y B(–5, 4)
Pm:
Por lo que el punto medio es: Pm (–1,1)
Pendiente de un segmento.-
Alineanción de tres o más puntos.-
La pendiente de un segmento es el grado de inclinación que dicho segmento tiene con respecto a un sistema de coordenadas. Matemáticamente la pendiente de un segmento es una diferencia de Ordenadas entre una diferencia de Absisas y se denota con la letra "m".
También podemos decir que la alineación de 3 ó más puntos es el dominio de 3 ó más Segmentos en una misma Recta o Linea.
Ángulo entre Dos Segmentos.-
El Ángulo es una cantidad de planos o abertura comprendida entre dos segmentos o semi rectas que tienen el mismo origen y lleva el nombre de vértice (Punto de Intersección de los Dos Segmentos). Hay cinco 5 tipos de angulos:
Ángulo Complementario: Son complementarios cuando la sumas es igual a 90º , es decir, un angulo recto.
Ángulo Suplementario: Son aquellos cuando su suma es igual a un ángulo llano, es decir,180º.
Ángulo Consecutivo: Se llaman ángulos consecutivos cuando tienen solo un lado en común.
Ángulos Opuestos por el Vértice: Son ángulos opuestos por que el vértice, si los lados de uno de ellos son semi rectas opuestas de los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Ángulos Adyacentes: Se llaman ángulos adyacentes cuando son consecutivos y forman un ángulo llano. Los ángulos adyacentes son suplementarios.
Definición de Lugar Geométricos.-
Representaciones Gráficas y Analíticas, Simetría y Asíntotas.
Definición de Lugar Geométricos.-
Se denomina lugar geométrico al conjunto de puntos que cumplen una misma posición o propiedad, este puede ser en una línea curva, una recta, un plano, una superficie curva, un circulo. Cualquier figura geométrica que sea sometida a una o varias condiciones y representan un lugar geométrico.
Representaciones Gráficas Y Analíticas.-
Una grafica es una representación en un eje de coordenadas de los pares ordenados en una tabla, las que se pueden clasificar de la siguiente manera:
Variable Independiente.-
Se representan en el eje horizontal de la gráficamente y también las llaman Variable X.
Se representa en la parte vertical de la gráfica, se llama también Variable Y.
Una vez elaborada la gráfica podríamos analizarla y de ella sacar las siguientes conclusiones.
Simetría.-
Desde el punto de vista geométrico la simetría es un movimiento en el plano o en el espacio que tiene lugar alrededor de un punto, una recta o hasta el mismo plano, esta conserva la forma y el tamaño de la figura original y aparecen cuando una figura se ha mantenido invariante bajo un movimiento alrededor de un punto o de una recta.
Asíntotas.-
Es una función cuya representación es gráfica y en forma de línea recta o parabólica que dentro de un trazo aleatorio, su trayectoria es de aproximadamente a una curva que representa a otra gráfica de otra función, ambas tienen sus limites dentro del área definida por la integral que asocia la razón de ambos gráficos.
Rosemary M. Vicuña L. dijo
Rosemary Vicuña
C.I. 12.996.803
Ingeniería Civil
Turno Nocturno
Seccion: 002
Elio Sanchez
C.I. 15.977.599
Ingeniería Civil
Turno Nocturno
Seccion: 002
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
2.CONCEPTO DE SEGMENTO
Es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos. Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.
LA RAZÓN: En aritmética, es la diferencia (resta) de dos cantidades. Cociente de dos números, o en general, de dos cantidades comparables entre sí. La razón, en geometría, es el número de veces que un número se contiene en otro (división).
DIVISION DE UN SEGMENTO CON UNA RAZON DADA.
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r.
3.PENDIENTE DE UN SEGMENTO.
Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. La notación de pendiente es por la letra m y de acuerdo con la definición, se expresa por m=tg q.
El ángulo (q) de inclinación de la recta puede tomar cualquier valor entre 0° £ q £ 180°, por lo que los siguientes criterios facilitan la comprensión del comportamiento de la pendiente en el sistema de coordenadas rectangulares:
a) m es un numero positivo, si 0° < q < 90° .
b) m es un número negativo, si 90° < q < 180° .
c) m =0, si q =0° .
d) m = ¥ , si = 90° .
Alineación de tres o más puntos
La alineación de tres o más puntos consiste en la pertenencia de tres o más segmentos consecutivos alineados a la misma recta.
Angulo entre dos segmentos.
Se le llama ángulo de dos segmentos a dos rectas dirigidas por los dos lados que se alejan del vértice. El ángulo de inclinación de una recta está formado por la parte positiva del eje X, cuando ésta se dirige hacia arriba
5. Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.
Representaciones Gráficas Y Analíticas.-
Una grafica es una representación en un eje de coordenadas de los pares ordenados en una tabla, las que se pueden clasificar de la siguiente manera:
Variable Independiente.-
Se representan en el eje horizontal de la gráficamente y también las llaman Variable X.
Simetría
Dos puntos son simétricos con respecto a una recta si esta es la mediatriz del segmento que las une. La recta con la cual son simétricas se llama ejes simétricos.
Una asíntota es una recta que se aproxima infinitamente a una curva a medida que la curva se aleja del origen de coordenadas.
D´Lima Molina Jeimi Suleina
C.I: 19.320.116
Ing. Civil seccion : 002 Nocturno
Semestre I
1.1 Definición del segmento en el plano cartesiano. División de un segmento con una razón dada, pendiente de un segmento, alineación de tres o más puntos.
El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.
Un segmento es parte de una línea en el plano cartesiano consiste de dos puntos llamados puntos extremos y todos los puntos entre medio de ellos Los extremos de un segmento forman parte del mismo. Un segmento de extremos A y B se designa AB. El segmento de una recta es aquel que está comprendido entre dos puntos. En un segmento de recta representado mediante AB, B se llama punta o punto de partida y A se llama cola o punta de llegada. Dos segmentos de rectas son dirigidos, AB y CD son equivalentes AB x CD si ambos tiene la misma longitud, equivalencia, y mismo signo que darían en la misma recta o en rectas paralelas pero lo mas importante en este caso seria que tuvieran una misma dirección para poder cumplir el teorema dado.
1.2 Angulo entre dos segmentos.
Angulo entre dos segmentos es la abertura que hay entre dos segmentos de rectas que se cortan entre sí, la cual es medida en grados con un transportador
2.1 Definición de lugar geométrico.
Conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Representación gráfica
Es una representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que guardan entre sí. También puede ser un conjunto de puntos, que se plasman en coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno. La representación gráfica permite establecer valores que no han sido obtenidos experimentalmente, es decir, mediante la interpolación (lectura entre puntos) y la extrapolación
Representación analítica
Es una representación descriptiva de algo mediante el dibujo, de manera clara y efectiva.
Simetría: Se dice que una curva es simétrica con respecto a un eje de simetría cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que estos dos puntos son simétricos con respecto al eje. Respecto al eje X.- Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable y es reemplazada por –y, la curva es simétrica con respecto al eje X.
Ejemplo: y2 = x
Simetría con respecto al eje Y.- Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable x es reemplazada por –x, la curva es simétrica con respecto al eje Y.
Ejemplo: y = 2x2 + 1
Simetría con respecto al Origen.- Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable x es reemplazada por –x y la variable y es reemplazada por -y, la curva es simétrica con respecto al origen. Ejemplo: y = x
Asíntotas: La asíntota es una recta tal que, a medida que un punto se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero.
el segmento en el plano cartesiano es la linea definida entre dos puntos con valores en el eje cartesiano de ordenadas y abscisas
la division de un segmento es la division del segmento por puntos u
bica dos sobre la recta entre dos extremos con valores ya conocidos La pendiente de un segmento rs la recta definida por el angulo con respecto a el eje de las ordenadas
1.2ANGULOS ENTRE DOS SEGMENTOS es el angulo que se origina entre la interseccion de dos segmentos 2.1DEFINICION DE LUGAR GEOMETRICO.son el conjuntos de puntos que determinan una propiedad enunciados en terminos de distancia a ptos,rectas o circuferencias
el segmento en el plano cartesiano es la linea definida entre dos puntos con valores en el eje cartesiano de ordenadas y abscisas
la division de un segmento es la division del segmento por puntos u
bica dos sobre la recta entre dos extremos con valores ya conocidos La pendiente de un segmento rs la recta definida por el angulo con respecto a el eje de las ordenadas
1.2ANGULOS ENTRE DOS SEGMENTOS es el angulo que se origina entre la interseccion de dos segmentos 2.1DEFINICION DE LUGAR GEOMETRICO.son el conjuntos de puntos que determinan una propiedad enunciados en terminos de distancia a ptos,rectas o circuferencias
Javier Saad C.I 13.381.203 Seccion 002 ing civil 1 semestre nocturno
Definición de un segmento en el plano cartesiano
Un segmento es parte de una línea en el plano cartesiano consiste de dos puntos llamados puntos extremos y todos los puntos entre medio de ellos Los extremos de un segmento forman parte del mismo. Un segmento de extremos A y B se designa AB.
El segmento de una recta A, B se representa mediante AB donde B se llama punta, y A la cola del segmento. Dos segmentos de rectas son dirigidos, AB y CD son equivalentes AB x CD si ambos tiene la misma longitud, equivalencia, y mismo signo que darían en la misma recta o en rectas paralelas pero lo mas importante en este caso seria que tuvieran una misma dirección para poder cumplir el teorema dado.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
Pendiente de una recta
La pendiente de un segmento de recta (o incluso de una recta completa) es en pocas palabras, una medida de la inclinación en el plano cartesiano.
El ángulo de inclinación de un segmento te dice qué ángulo forma ese segmento respecto al eje X (abscisas).
La pendiente es la TANGENTE de ese ángulo de inclinación y se simboliza normalmente con "m"
¨
Por lo tanto, si conoces el ángulo de inclinación (digamos ß), entonces, la pendiente del segmento de recta se calcula como la tangente de ß, es decir:
pendiente = m = tan ß
Un lugar geométrico
es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Una definición más formal es:
DEFINICIÓN
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntotas de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
Simetría :
Dos puntos son simétricos con respecto a una recta si esta es la mediatriz del segmento que las une. La recta con la cual son simétricas se llama ejes simétricos los puntos son simétricos respecto a otro punto si este es el punto medio del segmento que los une
ANGULO ENTRE DOS SEGMENTOS
Se le llama ángulo de dos segmentos a dos rectas dirigidas por los dos lados que se alejan del vértice. El ángulo de inclinación de una recta está formado por la parte positiva del eje X, cuando ésta se dirige hacia arriba existen varios tipos de ángulos entre ello:
Ángulos complementarios: Son aquellos que sumados dan 90°. Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 90°
Ángulos suplementarios: Son aquellos que sumados dan 180°. Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 180°
Ángulos consecutivos o contiguos: Son aquellos que tienen un lado común.
Ángulos adyacentes: Son aquellos ángulos que tienen una lado en común y el otro lado sobre una misma recta. Dos ángulos adyacentes son siempre suplementarios.
Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos son opuestos por el vértice, cuando al prolongar los lados de un ángulo se forman los lados del otro ángulo.
LUGAR GEOMÉTRICO
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.
Estos son varios ejemplos de lugares geométricos en el plano:
• El lugar geométrico de los P que equidistan a dos puntos fijos A y B (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz. Dicho de otra forma, la mediatriz es la recta que interseca perpendicularmente a un segmento AB en su punto medio ((A + B) / 2).
• La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan dichas rectas), lo divide por la mitad. Esta recta cumple la propiedad de equidistar a las dos anteriores, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.
• Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si, por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo).
REPRESENTACIÓN GRAFICA Y ANALITICA
La representación gráfica es una ayuda para el estudio de una función. Una función con una variable dependiente y otra independiente se puede representar gráficamente en un eje de ordenadas y abscisas correspondiendo el valor de cada variable a la posición en los ejes. Normalmente se utiliza la variable para el eje de abscisas y la variable para el eje de ordenadas.
Para representar una función debemos seguir los siguientes pasos:
• El primer paso es encontrar el dominio .
• El segundo paso es encontrar los cortes con los ejes e .
• El tercer paso es encontrar el signo de la función en los intervalos en los que no existe el dominio o hay un corte con el eje .
• El cuarto paso es calcular las asíntotas que puede tener la función (horizontales, oblicuas y verticales).
• El quinto paso es buscar los posibles extremos igualando la primera derivada a 0.
• El sexto paso es estudiar la monotonía de la función. Es decir, los intervalos en los que crece o decrece.
• El séptimo paso es encontrar los puntos de inflexión igualando la segunda derivada a 0.
• El octavo paso es estudiar la forma (cóncava o convexa) de la función.
ASÍNTOTAS
Se dice que una recta r es una asíntota de la curva y = f(x) cuando la distancia entre un punto de la curva y la recta dada tiende hacia cero cuando el punto de la curva recorre una rama infinita.
Las asíntotas que se estudian son:
Asíntotas verticales:
Son rectas de la forma x = a, paralelas al eje OY, y esto sucede cuando , bien por la derecha o por la izquierda.
Asíntotas horizontales: Son rectas de la forma y = b, paralelas al eje OX, y esto sucede cuando , bien por la derecha, bien por la izquierda, bien en ambos sentidos.
Asíntotas oblicuas: Son rectas de la forma y = mx + n, donde y siendo ambos números reales.
SIMETRIA
Las simetrías se dividen en dos funciones
Función par
Se dice que una función es par si es simétrica respecto del eje OY, es decir, si se verifica que si (x,y) es un punto cualquiera de la gráfica de la función, entonces (-x,y) también lo es, o lo que es lo mismo: f(x) = f(-x)
.
Función impar
Se dice que una función es impar sies simétrica respecto del origen de coordenadas, es decir, si se verifica que si (x,y) es un punto cualquiera de la gráfica de la función, entonces (-x,-y) también lo es, o lo que es lo mismo: f(x) = -f(-x).
Se dice que una curva es simétrica respecto del eje OX si se verifica que si (x,y) es un punto cualquiera de la gráfica de la función, entonces (x,-y) también lo es. Hacemos notar que en este caso la gráfica no corresponde a ninguna función, ya que un mismo original tendría dos imágenes.
El interés de la simetría consiste en reducir el dominio de la función, así se realiza el estudio para ciertos valores de la variable independiente (suelen ser las abscisas positivas) y por simetría dibujar la gráfica completa.
ANGULO ENTRE DOS SEGMENTOS
Se le llama ángulo de dos segmentos a dos rectas dirigidas por los dos lados que se alejan del vértice. El ángulo de inclinación de una recta está formado por la parte positiva del eje X, cuando ésta se dirige hacia arriba existen varios tipos de ángulos entre ello:
Ángulos complementarios: Son aquellos que sumados dan 90°. Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 90°
Ángulos suplementarios: Son aquellos que sumados dan 180°. Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 180°
Ángulos consecutivos o contiguos: Son aquellos que tienen un lado común.
Ángulos adyacentes: Son aquellos ángulos que tienen una lado en común y el otro lado sobre una misma recta. Dos ángulos adyacentes son siempre suplementarios.
Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos son opuestos por el vértice, cuando al prolongar los lados de un ángulo se forman los lados del otro ángulo.
LUGAR GEOMÉTRICO
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.
Estos son varios ejemplos de lugares geométricos en el plano:
• El lugar geométrico de los P que equidistan a dos puntos fijos A y B (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz. Dicho de otra forma, la mediatriz es la recta que interseca perpendicularmente a un segmento AB en su punto medio ((A + B) / 2).
• La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan dichas rectas), lo divide por la mitad. Esta recta cumple la propiedad de equidistar a las dos anteriores, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.
• Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si, por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo).
REPRESENTACIÓN GRAFICA Y ANALITICA
La representación gráfica es una ayuda para el estudio de una función. Una función con una variable dependiente y otra independiente se puede representar gráficamente en un eje de ordenadas y abscisas correspondiendo el valor de cada variable a la posición en los ejes. Normalmente se utiliza la variable para el eje de abscisas y la variable para el eje de ordenadas.
Para representar una función debemos seguir los siguientes pasos:
• El primer paso es encontrar el dominio .
• El segundo paso es encontrar los cortes con los ejes e .
• El tercer paso es encontrar el signo de la función en los intervalos en los que no existe el dominio o hay un corte con el eje .
• El cuarto paso es calcular las asíntotas que puede tener la función (horizontales, oblicuas y verticales).
• El quinto paso es buscar los posibles extremos igualando la primera derivada a 0.
• El sexto paso es estudiar la monotonía de la función. Es decir, los intervalos en los que crece o decrece.
• El séptimo paso es encontrar los puntos de inflexión igualando la segunda derivada a 0.
• El octavo paso es estudiar la forma (cóncava o convexa) de la función.
ASÍNTOTAS
Se dice que una recta r es una asíntota de la curva y = f(x) cuando la distancia entre un punto de la curva y la recta dada tiende hacia cero cuando el punto de la curva recorre una rama infinita.
Las asíntotas que se estudian son:
Asíntotas verticales:
Son rectas de la forma x = a, paralelas al eje OY, y esto sucede cuando , bien por la derecha o por la izquierda.
Asíntotas horizontales: Son rectas de la forma y = b, paralelas al eje OX, y esto sucede cuando , bien por la derecha, bien por la izquierda, bien en ambos sentidos.
Asíntotas oblicuas: Son rectas de la forma y = mx + n, donde y siendo ambos números reales.
SIMETRIA
Las simetrías se dividen en dos funciones
Función par
Se dice que una función es par si es simétrica respecto del eje OY, es decir, si se verifica que si (x,y) es un punto cualquiera de la gráfica de la función, entonces (-x,y) también lo es, o lo que es lo mismo: f(x) = f(-x)
.
Función impar
Se dice que una función es impar sies simétrica respecto del origen de coordenadas, es decir, si se verifica que si (x,y) es un punto cualquiera de la gráfica de la función, entonces (-x,-y) también lo es, o lo que es lo mismo: f(x) = -f(-x).
Se dice que una curva es simétrica respecto del eje OX si se verifica que si (x,y) es un punto cualquiera de la gráfica de la función, entonces (x,-y) también lo es. Hacemos notar que en este caso la gráfica no corresponde a ninguna función, ya que un mismo original tendría dos imágenes.
El interés de la simetría consiste en reducir el dominio de la función, así se realiza el estudio para ciertos valores de la variable independiente (suelen ser las abscisas positivas) y por simetría dibujar la gráfica completa.
ING CIVIL 002 NOCTURNO
SEGUNDA PARTE
ANGULO ENTRE DOS SEGMENTOS
Se le llama ángulo de dos segmentos a dos rectas dirigidas por los dos lados que se alejan del vértice. El ángulo de inclinación de una recta está formado por la parte positiva del eje X, cuando ésta se dirige hacia arriba existen varios tipos de ángulos entre ello:
Ángulos complementarios: Son aquellos que sumados dan 90°. Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 90°
Ángulos suplementarios: Son aquellos que sumados dan 180°. Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 180°
Ángulos consecutivos o contiguos: Son aquellos que tienen un lado común.
Ángulos adyacentes: Son aquellos ángulos que tienen una lado en común y el otro lado sobre una misma recta. Dos ángulos adyacentes son siempre suplementarios.
Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos son opuestos por el vértice, cuando al prolongar los lados de un ángulo se forman los lados del otro ángulo.
LUGAR GEOMÉTRICO
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.
Estos son varios ejemplos de lugares geométricos en el plano:
• El lugar geométrico de los P que equidistan a dos puntos fijos A y B (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz. Dicho de otra forma, la mediatriz es la recta que interseca perpendicularmente a un segmento AB en su punto medio ((A + B) / 2).
• La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan dichas rectas), lo divide por la mitad. Esta recta cumple la propiedad de equidistar a las dos anteriores, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.
• Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si, por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo).
REPRESENTACIÓN GRAFICA Y ANALITICA
La representación gráfica es una ayuda para el estudio de una función. Una función con una variable dependiente y otra independiente se puede representar gráficamente en un eje de ordenadas y abscisas correspondiendo el valor de cada variable a la posición en los ejes. Normalmente se utiliza la variable para el eje de abscisas y la variable para el eje de ordenadas.
Para representar una función debemos seguir los siguientes pasos:
• El primer paso es encontrar el dominio .
• El segundo paso es encontrar los cortes con los ejes e .
• El tercer paso es encontrar el signo de la función en los intervalos en los que no existe el dominio o hay un corte con el eje .
• El cuarto paso es calcular las asíntotas que puede tener la función (horizontales, oblicuas y verticales).
• El quinto paso es buscar los posibles extremos igualando la primera derivada a 0.
• El sexto paso es estudiar la monotonía de la función. Es decir, los intervalos en los que crece o decrece.
• El séptimo paso es encontrar los puntos de inflexión igualando la segunda derivada a 0.
• El octavo paso es estudiar la forma (cóncava o convexa) de la función.
ASÍNTOTAS
Se dice que una recta r es una asíntota de la curva y = f(x) cuando la distancia entre un punto de la curva y la recta dada tiende hacia cero cuando el punto de la curva recorre una rama infinita.
Las asíntotas que se estudian son:
Asíntotas verticales:
Son rectas de la forma x = a, paralelas al eje OY, y esto sucede cuando , bien por la derecha o por la izquierda.
Asíntotas horizontales: Son rectas de la forma y = b, paralelas al eje OX, y esto sucede cuando , bien por la derecha, bien por la izquierda, bien en ambos sentidos.
Asíntotas oblicuas: Son rectas de la forma y = mx + n, donde y siendo ambos números reales.
SIMETRIA
Las simetrías se dividen en dos funciones
Función par
Se dice que una función es par si es simétrica respecto del eje OY, es decir, si se verifica que si (x,y) es un punto cualquiera de la gráfica de la función, entonces (-x,y) también lo es, o lo que es lo mismo: f(x) = f(-x)
.
Función impar
Se dice que una función es impar sies simétrica respecto del origen de coordenadas, es decir, si se verifica que si (x,y) es un punto cualquiera de la gráfica de la función, entonces (-x,-y) también lo es, o lo que es lo mismo: f(x) = -f(-x).
Se dice que una curva es simétrica respecto del eje OX si se verifica que si (x,y) es un punto cualquiera de la gráfica de la función, entonces (x,-y) también lo es. Hacemos notar que en este caso la gráfica no corresponde a ninguna función, ya que un mismo original tendría dos imágenes.
El interés de la simetría consiste en reducir el dominio de la función, así se realiza el estudio para ciertos valores de la variable independiente (suelen ser las abscisas positivas) y por simetría dibujar la gráfica completa.
SEGMENTO:
Se llama Segmento rectilíneo o simplemente segmento a la porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos. Los dos puntos se llaman extremos del segmento; a uno de éstos puntos se le denomina origen del segmento y al otro extremo del segmento. Para la representación espacial, sea de un plano, un punto o una recta, se usan principalmente las coordenadas cartesianas rectangulares (x,y), que utilizan como ejes de referencia el de las abcisas (x), u horizontales, y el de las ordenadas (y), o verticales.
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO CON UNA RAZÓN DADA:
Si P1(x1,y1) y P2(x2,y2) son los extremos de un segmento, las coordenadas (x,y) de un punto P que divide a este segmento, es la razón dada.
r = P1P: PP2
r es distinto de -1
PENDIENTE DE UN SEGMENTO:
En sentido común el declive de cualquier cosa en su inclinación o pendiente, cuanto es lo que lo que lo sube o baja con respecto a una línea horizontal de referencia. Por definición la pendiente de una recta es igual a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación. La pendiente de una recta se designa comúnmente con la letra m.
ALINEACIÓN DE TRES O MÁS PUNTOS:
Considerando que dos puntos geométricos siempre determinan una recta geométrica; la alineación de tres o más puntos será la “unión” de tres o más rectas que formarán bien sea un triángulo u otros polígonos, esto de acuerdo a la cantidad de segmentos que se hayan unido.
ÁNGULO ENTRE DOS SEGMENTOS:
Se conoce también como ángulo de inclinación de una recta. Está formado por la parte positiva del eje X y la recta, cuando ésta se considera dirigida hacia arriba. Éste ángulo α puede tener cualquier valor comprendido entre 0° y 180°. La definicíon de ángulo es materia de la geometría métrica. Al cortarse en un plano dos rectas cualesquiera determinan cuatro ángulos iguales dos a dos; es decir, isométricos dos a dos. Dos de estos ángulos serán agudos (ángulo entre 0 y 90 grados) y los otros dos son obtusos (ángulos entre 90 y 180 grados); si bien, puede darse el caso especial de que sean cuatro ángulos rectos (90 grados). Se llamará ángulo de dos rectas al ángulo agudo o recto determinado al cortarse dichas rectas.
LUGAR GEOMÉTRICO:
Es el conjunto de los puntos y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfagan una ecuación. Se puede decir que un conjunto de puntos en un plano forman una circunferencia si es constante la distancia de cada uno de los puntos a uno central. El área encerrada por la circunferencia se denomina círculo aunque muchas veces se utilicen ambos indistintamente. Llamamos O, al centro del círculo, y r a la distancia de cada punto de la circunferencia al centro O. El diámetro es toda recta que pasa por el centro del círculo y queda limitada por la circunferencia.
La esfera es una ampliación, en una dimensión, del círculo. Se llama pues esfera al conjunto de puntos en el espacio que presentan igual distancia r con respecto a un mismo punto O. La ecuación cartesiana tendrá el mismo aspecto que la del círculo, salvo que con una dimensión más.
SIMETRÍA:
Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta, si la recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio. La recta con respecto a la cual son simétricos dos puntos se le llama eje de simetría. Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a un punto cero, si el punto “0” es el punto medio del segmento que los une; se le llama “Centro de Simetría”.
ASÍNTOTAS:
Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asíntota de la curva. Pueden existir: asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de acuerdo a la coincidencia o no con alguno de los ejes. Sin embargo, hay muchas curvas que no tienen asíntotas.
Plano Cartesiano R2
1.-Definicion de un segmento en el plano cartesiano.
Es un sistema coordenado lineal, formado por dos rectas dirigidas, x`x e y`y, perpendiculares entre si, llamadas ejes de coordenadas.
La recta x`x se llama eje de las x o ejes de las abscisas, y la recta y`y eje de las y o eje de las ordenadas. El punto O, se llama origen de las coordenadas.
Los ejes forman cuatro angulos rectos, a cada uno de los cuales se le llama cuadrante.
En la recta x`x, ox es positivo y ox` negativo
En la recta y`y, oy es positivo y oy` negativo
2.-Division de un segmento con una razón dada.
Es determinar un punto p de la recta que contiene el segmento A-B, de modo que las dos partes, PA y PB, estan en la relacion:
PA
____________ =r
PB
3.-Pendiente de un segmento, alineación de tres o más puntos.
Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación.
La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m.
m= t g a.
4.-Angulo entre dos segmentos.
Se llama ángulo de dos rectas dirigidas al formado por los dos lados que se alejan del vértice.
5.-Definicion de lugar geométrico. Representación gráfica y analítica. Simetría y asíntotas.
Lugar Geométrico: Es el conjunto de los puntos, y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación, se le llama grafica de la ecuación o, bien, su lugar de origen.
Como las Coordenadas de los puntos de un lugar geom6trico están restringidas por su ecuacion tales puntos estarán localizados, en general, en posiciones tales que, tomadas en conjunto, formen un tramo definido llamado curva , gratifica , o lugar geometrico.
Simetria: Es un rasgo caracteristico de forma geometrica, sistemas, ecuaciones y otros materiales o entidades abstractas, relacionadas con su innovancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambio.
Asíntotas: si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asíntota de la curva.
primer semestre de ingeniería civil sección 002........
division de un segmento con una razon dada:Dado un segmento cuyos extremos sean los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2), es posible encontrar las coordenadas de un punto P (x, y), tal que divida al segmento en una razón tal que las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A ( 1, 1) y B (11, 6) en una razón tal que:
De acuerdo a la relación planteada, se pueden aplicar las fórmulas obtenidas:
De manera similar: y = 3 ; por lo que las coordenadas del punto buscado son: P(5,
Punto medio
El punto medio es un caso particular de la división de un segmento en una razón dada, en la cual r = 1.
pendiente de un segmento: La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano ), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:
(El símbolo delta "Δ", es comúnmente usado en cálculo para representar un cambio o diferencia).
Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2), la diferencia en X es x2 − x1, mientras que el cambio en Y se calcula como y2 − y1. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:
Donde m representa la pendiente entre el punto 1 y el punto 2. La cual representa la razón de cambio de y respecto a x, es decir si (x) se incrementa en 1 unidad, (y) se incrementa en (m) unidades.
alineaciones de tres o mas puntos: Es aquel sistema de alineamiento compuesto por plano, recta, punto. Este alineamiento es el más correcto matemáticamente. Este sistema nos exige disponer de elementos suficientes para poder crear un plano, una recta y un punto, y poder definir su posición nominal. En el caso de disponer de tres pínulas o de tres casquillos rectificados, debemos medir los centros de éstos y después con los tres elementos construir el plano, con dos de ellos construir la recta y utilizar uno de ellos como punto referencia. Una vez construido esto, debemos definir la posición nominal del punto referencia y los diferentes ángulos que tengan los elementos con los planos teóricos, así como la dirección del plano y la recta.
angulo entre dos puntos: Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia
queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema decoordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de.
Lugar geometrico: Una figura es el lugar geométrico de los puntos que cumplen una propiedad cuando:
w Todos los puntos de la figura cumplen esa propiedad
w Todo punto que cumple la propiedad pertenece a la figura.
Se denomina lugar geométrico al conjunto de los puntos del plano que satisfacen una determinada propiedad. Dicha propiedad se enuncia habitualmente en términos de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas en el plano y/o en términos del valor de un ángulo.
En muchas ocasiones, los lugares geométricos que satisfacen una propiedad dada son elementos sencillos (una recta, una circunferencia, una curva cónica,...), mientras que en otras ocasiones pueden corresponderse con trazados mucho más complejos.
Ejemplos de lugares geométricos elementales son la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo, una circunferencia, una recta paralela a otra,...
También las curvas cónicas se pueden considerar como lugares geométricos. Así una elipse es el lugar geométrico de la suma de las distancias de un punto a dos dados (los focos) que es constante.
Enlaces externos.
Simetria: La simetría es la exacta correspondencia de todas las partes de una figura respecto de un centro, un eje o un plano.
La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.
En condiciones formales, decimos que un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada, si, cuando aplicado al objeto, esta operación no cambia el objeto o su aspecto. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslaciones,rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan.
Asintotas: Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito. Osea; Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en: vertical horizontal es oblicuas...
1)¿Definicion del Segmento en el Plano Cartesiano?
El Plano Cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (Linea Recta), respecto a dos ejes (Un Plano) o respecto a tres ejes (En el Espacio), perpendiculares entre si (Plani y Espacio), ya que se cortan en un punto llamado "Origen de Coordenadas" En el Plano las coordenadas cartesianas o (Rectangulares) X e Y se denominan Abscisas y Ordenadas, respectivamente. Entones como vemos el Segmento es parte de una linea en el Plano Cartesiano consiste de dos puntos llamados puntos extremos y todos los puntos entre medio de ellos. Los extremos de un segmento forman parte del mismo. Un segmento de A y B se designan AB.
2)¿Division de un segmento con una razon dada?
Dado un segmento cuyos extremos sean los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) es posible encontrar las coorenadas de un punto P(x, y) tal que divida al segmento en una razon tal que.
3)¿Pendiente de un segmento, Alineacion de 3 o mas puntos?
Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. Y la pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m.
m= t g a.
4)¿Angulo entre Dos Segmentos?
Los puntos de interseccion de dos lineas son puntoa cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones de ambas y son los unicos puntos que satisfacen dicha condiciòn.
a1 y a2 son las inclinaciones de las rectas cuyas pendientes seran Tg a1=m1 y Tg a2=m2. B es el angulo formado por las dos rectas.
5)¿Definicion del Lugar Geomètrico?
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.
Simetria:
Es la transformacion geometrica de un punto o conjunto de puntos de un lado de un punto, recta o plano a la posicion simetrica del otro lado.
Asintotas:
Una asíntota es una función cuya representación es gráfica y en forma de línea recta o parabólica que, dentro de un trazo aleatorio, su trayectoria es de aproximación a una curva que representa a otra gráfica de otra función; ambas tienen sus límites dentro del área definida por la integral que asocia la razón de ambos gráficos.
Definición del segmento en el plano cartesiano
El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.
plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1.Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
2) DIVISION DE UN SEGMENTO CON UNA RAZON DADA
Dado un segmento cuyos extremos sean los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2), es posible encontrar las coordenadas de un punto P (x, y), tal que divida al segmento en una razón tal que
Como puede observarse, se han formado 2 triángulos semejantes de donde se puede establecer la siguiente relación:
, es decir:
De donde: x – x1 = r (x2 – x)
x – x1 = r x2 – r x
x – r x = x1 +r x2
Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A ( 1, 1) y B (11, 6) en una razón tal que:
De acuerdo a la relación planteada, se pueden aplicar las fórmulas obtenidas:
De manera similar: y = 3 ; por lo que las coordenadas del punto buscado son: P(5, 3)
Punto medio
El punto medio es un caso particular de la división de un segmento en una razón dada, en la cual r = 1. De acuerdo con ello, se pueden obtener las siguientes expresiones:
Ejemplo
Obtener el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A (3, –2) y B(–5, 4)
Pm:
Por lo que el punto medio es: Pm (–1,1)
3) PENDIENTE DE UN SEGMENTO, ALINIACION DE 3 O MAS PUNTOS
Se define como pendiente de un segmento, al grado de inclinación que dicho segmento posee con respecto a un sistema coordenado. Matemáticamente se dice que la pendiente de un segmento es una diferencia de ordenadas entre una diferencia de abscisas y se denota con la letra m.
Sea los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) que definen el segmento su pendiente será:
*Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman 4 ángulos congruentes.
*Dos rectas son paralelas si nunca se cortan o son coincidentes
4) Angulo entre 2 segmento
El ángulo formado por dos segmentos es igual al ángulo agudo determinado por los vectores normales de dichos planos.
Dos segmento son perpendiculares si vectores normales son ortogonales.
Ejemplo:
5) Lugar geométrico
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.
Ejemplos
Estos son varios ejemplos de lugares geométricos en el plano:
• El lugar geométrico de los P que equidistan a dos puntos fijos A y B (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz. Dicho de otra forma, la mediatriz es la recta que interseca perpendicularmente a un segmento AB en su punto medio ((A + B) / 2).
• La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan dichas rectas), lo divide por la mitad. Esta recta cumple la propiedad de equidistar a las dos anteriores, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.
• Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si, por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo).
6) Representación grafica y analitica
Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla.
Las gráficas describen relaciones entre dos variables.
La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable independiente o variable x.
La que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente o variable y.
La variable y está en función de la variable x.
Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer conclusiones.
Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha, analizando cómo varía la variable dependiente, y, al aumentar la variable independiente, x.
En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más kilos En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más kilos de patatas el precio se va incrementando.
En esta gráfica observamos que la mayor parte de los alumnos obtienen una nota comprendida entre 4 y 7.
analítica
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.
Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:
1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican # dicha ecuación.
Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy =
Simétrica
Es la exacta correspondencia de todas las partes de una figura respecto de un centro, un eje o un plano.
La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.
En condiciones formales, decimos que un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada, si, cuando aplicado al objeto, esta operación no cambia el objeto o su aspecto. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan.
Asintotas:
es una función cuya representación es gráfica y en forma de línea recta o parabólica que, dentro de un trazo aleatorio, su trayectoria es de aproximación a una curva que representa a otra gráfica de otra función; ambas tienen sus límites dentro del área definida por la integral que asocia la razón de ambos gráficos.
Dos hipérbolas y sus asíntotas.
se puede decir que la curva A es una asíntota de la curva C si se establece una distancia mínima y que existe un trecho no limitado por la curva C que dista de la asíntota A menos de la distancia mínima establecida.
En general la curva C puede parecer intersecar varias veces a su asíntota A. Sin embargo aquello que hace a A una asíntota de C es el hecho que C se aproxima a A por un trecho ilimitado sin jamás coincidir con A, y esto significa prescindir de otras eventuales y ocasionales intersecciones
Odilys Gutierrez
C.I. 9.448.658
Civil 001 Noche
Geometría Analítica: se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.
Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.
Segmento en el Plano Cartesiano: un segmento no es más que una fracción de recta que está comprendido entre dos puntos.
Plano Cartesiano: es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
Para localizar los puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
Lugares Geométricos en el Plano:
Lugar Geométrico: es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
La mediatriz: es la recta que interseca perpendicularmente a un segmento AB en su punto medio ((A + B) / 2).
La bisectriz: es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectriz es la recta que, pasando por el vértice (punto donde se cortan dichas rectas), lo divide por la mitad. Esta recta cumple la propiedad de equidistar a las dos anteriores, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.
La paralela media: es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan, se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si, por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo).
Representación grafica y analítica: una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla, las gráficas describen relaciones entre dos variables, la variable que se representa en el eje horizontal se llama variable independiente o variable x, la que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente o variable y.
La simetría: es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan.
Asíntotas: es una función cuya representación es gráfica y en forma de línea recta o parabólica que, dentro de un trazo aleatorio, su trayectoria es de aproximación a una curva que representa a otra gráfica de otra función; ambas tienen sus límites dentro del área definida por la integral que asocia la razón de ambos gráficos.
LEVI NAYLA OCHOA GARCIA
C.I. V.- 17.173.743.
SECCION 01
AULA 19
SEMESTRE 01
INGENIERIA CIVIL
GEOMETRIA ANALITICA
• Segmentos en el plano cartesiano
• División de un segmento con una razón dada
• Pendiente de un segmento
• Alineación de 3 o mas puntos
• Ángulos entre dos segmentos
• Lugar Geométrico
• Representación grafica y analítica simetría
• Representación grafica y analítica asuntotas
Segmentos en el plano Cartesiano: Un plano cartesiano se compone de dos rectas numéricas reales que se intersecan formando un ángulo de 90 grados en el cero de las dos rectas. El plano cartesiano se utiliza como sistema de referencia para localizar puntos en un plano.
División de un segmento con una razón dada: Dado un segmento cuyos extremos sean los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2), es posible encontrar las coordenadas de un punto P (x, y), tal que divida al segmento El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.
Pendiente de un segmento: La pendiente de un segmento mide el grado de inclinación del segmento respecto al eje X. La pendiente de un segmento se obtiene con siguiente relación:
m= (Yf - Yi) / (Xf - Xi)
Alineación de 3 o más puntos: La alineación de tres o más puntos consiste en la pertenencia de tres o más segmentos Consecutivos alineados a la misma recta. Son las condiciones analíticas que deben cumplir tres puntos para estar sobre una misma recta. Intentaremos establecer una condición necesaria y suficiente, es decir que si partimos del hecho de que tres puntos están en una misma recta sus coordenadas cumplen cierta condición algebraica y en forma reciproca si las coordenadas de tres puntos cumplen esta condición entonces los puntos están alineados.
A (x, y)
B (x1, y1)
C(x2, y2)
=(x2 -x). (y1 -y)-(y2 -y) (x1 -x)=0
Ángulos entre dos segmentos: dos rectas dirigidas por los dos lados que se alejan del vértice. El ángulo de inclinación de una recta está formado por la parte positiva del eje X,
Lugar Geométrico: Una figura es el lugar geométrico de los puntos que cumplen una propiedad cuando: Todos los puntos de la figura cumplen esa propiedad Y Todo punto que cumple la propiedad pertenece a la figura
Representación grafica y analítica simetría: La simetría es la exacta correspondencia de todas las partes de una figura respecto de un centro, un eje o un plano. Dos puntos son simétricos con respecto a una recta si esta es la mediatriz del segmento que las une. La recta con la cual son simétricas se llama ejes simétricos. Los puntos son simétricos respecto a otro punto si este es el punto medio del segmento que los une. Cuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el concepto de simetría está asociado a transformaciones geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones.
Representación grafica y analítica asintotas: Se llama asíntota de una función f(x) a una recta t cuya distancia a la curva tiende a cero, cuando x tiende a infinito o bien x tiende a un punto a. Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
MUCHAS GRACIAS !!!
BENAS TARDE!!
GEOMETRIA ANALITICA: estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemáticodeterminado sistema de coordenadas. la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipodonde una función u otro tipo de expresión matemática.polinómicas de grado 1y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2.
SEGMENTO DE PLANO CARTECIANO:es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje, dos ejes o tres ejes perpendicularmente entre sí.un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, la cual pueden nombrarse mediante dos números: (x, y).
LUGAR GEOMETRICO:es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas.que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedadesformados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad.
SIMETRIA:es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materialesbajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.
es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dadaal objeto.
Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones llamada geometría 2D las clases principales de simetría de interés.
MANUELIS ACOSTA CIVIL 001 GEOMETRIA ANALITICA: Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.
Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:
Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican # dicha ecuación.
Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. SEGMENTO DEL PLANO CARTESIANO:En El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta)Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
LUGAR GEOMETRICO:Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad, respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0) SIMETRIA:La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.
En condiciones formales, decimos que un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada, si, cuando aplicado al objeto, esta operación no cambia el objeto o su aspecto. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan.cas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1).
HOLA PROFE.
SOY LA ALUMNA YELIMAR MUÑOZ #21484810
ESTUDIO ING. CIVIL SECCION 001 NOCTURNO
1. DEFINICION DEL SEGMENTO EN EL PLANO CARTESIANO.
2. DIVISION DE UN SEGMENTO CON UNA RAZON DADA.
3. PENDIENTE DE UN SEGMENTO.
4. ALINEACION DE TRES O MAS PUNTOS.
5. ANGULO ENTRE DOS SEGMENTOS.
6. DEFINICION DE LUGAR GEOMETRICA.
DEFINICION DEL SEGMENTO EN EL PLANO CARTESIANO:
UN SEGMENTO ES PARTE DE UNA LINEA EN EL PLANO CARTESIANO CONSISTE DE DOS PUNTOS LLAMADOS PUNTOS EXTREMOS Y TODOS LOS PUNTOS ENTRE MEDIO DE ELLOS. LOS EXTREMOS DE UN SEGMENTO FORMAN PARTE DEL MISMO. UN SEGMENTO DE EXTREMOS "A" Y "B" SE DESIGNA "AB".
EL SEGMENTO DE UNA RECTA "A,B" SE REPRESENTA MEDIANTE "AB" DONDE "B" SE LLAMA PUNTA, Y A LA COLA DEL SEGMENTO.
DIVISION DE UBN SEGMENTO CON UNA RAZON DADA:
DIVIDIR UN SEGMENTO AB EN UNA RELACION DADA r ES DETERMINAR UN PUNTO "P" DE LA RECTA QUE CONTIENE AL SEGMENTO AB, DE MODO QUE LAS DOS PARTES, "PA" Y "PB", ESTAN EN LA RELACION r:
PA/PB = r
PENDIENTE DE UN SEGMENTO:
LA PENDIENTE DE UN SEGMENTO ES LA QUE MIDE EL GRADO DE INCLINACION DEL SEGMENTO RESPECTO AL EJE X.
SI EL SEGMENTO PASA POR LOS PUNTOS (x1, y1) Y (x2, y2) ENTONCES LA PENDIENTE ES "m".
m= (y2-y1)/ (x1-x2)
ALINEACION DE TRES O MAS PUNTOS:
LOS VECTORES TAMBIÉN PUEDEN SERVIR POR COMPROBAR SI TRES O MÁS PUNTOS A, B, C, D, ..., ESTÁN ALINEADOS, ES DECIR, SI EXISTE UNA RECTA QUE PASA POR TODOS ELLOS.
NOSOTROS SÓLO CONSIDERAREMOS EL CASO DE TRES PUNTOS A, B Y C, PUDIÉNDOSE GENERALIZAR TODO LO QUE DIREMOS A MÁS DE TRES PUNTOS.
SI A, B Y C ESTÁN ALINEADOS, ENTONCES LOS VECTORES Y TIENEN LA MISMA DIRECCIÓN, ES DECIR, SON PARALELOS. Y SI A, B Y C NO ESTÁN ALINEADOS, ENTONCES ESTOS VECTORES Y NO SON PARALELOS. POR LO TANTO, LA CONDICIÓN QUE HAN DE VERIFICAR A, B Y C PARA QUE ESTÉN ALINEADOS ES QUE LOS VECTORES Y SEAN PARALELOS (RECORDEMOS QUE Y SON PARALELOS SI TIENEN LAS COMPONENTES PROPORCIONALES).
SI LAS COORDENADAS DE A, B Y C SON A(A1,A2), B(B1,B2) Y C(C1,C2), ENTONCES
= (B1 - A1, B2 - A2)
= (C1 - A1, C2 - A2)
Y LA CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE Y ES
b1-a1/c1-a1 = b2 - a2/ c2-a2
ANGULO ENTRES DOS SEGMENTOS:
EL ANGULO EN DOS SEGMENTOS QUE SE CORTANEN UN PUNTO, ESTOS NECESARIAMENTE FORMA UN ANGULO.
ESE ANGULO ES EL QUE HAY QUE CALCULAR, PARA ESTO HAY QUE APLICAR LA SIGUIENTE FORMULA TRIGONOMETRICA:
Tangx = m1-m2/ 1+m1.m2 DONDE
x ES EL ANGULO QUE FORMAN LOS SEGMENTOS.
m1 ES LA PEDIENTE DE UNA DE LAS RECTAS.
m2 ES LA PEDIENTE DE LA OTRA RECTA.
LUGAR GEOMETRICO:
SE DENOMINA LUGAR GEOMÉTRICO AL CONJUNTO DE LOS PUNTOS DEL PLANO QUE SATISFACEN UNA DETERMINADA PROPIEDAD. DICHA PROPIEDAD SE ENUNCIA HABITUALMENTE EN TÉRMINOS DE DISTANCIAS A PUNTOS, RECTAS O CIRCUNFERENCIAS FIJAS EN EL PLANO Y/O EN TÉRMINOS DEL VALOR DE UN ÁNGULO.
EN MUCHAS OCASIONES, LOS LUGARES GEOMÉTRICOS QUE SATISFACEN UNA PROPIEDAD DADA SON ELEMENTOS SENCILLOS (UNA RECTA, UNA CIRCUNFERENCIA, UNA CURVA CÓNICA,...), MIENTRAS QUE EN OTRAS OCASIONES PUEDEN CORRESPONDERSE CON TRAZADOS MUCHO MÁS COMPLEJOS.
EJEMPLOS DE LUGARES GEOMÉTRICOS ELEMENTALES SON LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO, LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO, UNA CIRCUNFERENCIA, UNA RECTA PARALELA A OTRA.
SIMETRIA:
LA SIMETRÍA ES LA EXACTA CORRESPONDENCIA DE TODAS LAS PARTES DE UNA FIGURA RESPECTO DE UN CENTRO, UN EJE O UN PLANO.
LA SIMETRÍA ES UN RASGO CARACTERÍSTICO DE FORMAS GEOMÉTRICAS, SISTEMAS, ECUACIONES, Y OTROS OBJETOS MATERIALES O ENTIDADES ABSTRACTAS, RELACIONADA CON SU INVARIANCIA BAJO CIERTAS TRANSFORMACIONES, MOVIMIENTOS O INTERCAMBIOS.
ASINTOTAS:
ES UNA FUNCIÓN CUYA REPRESENTACIÓN ES GRÁFICA Y EN FORMA DE LÍNEA RECTA O PARABÓLICA QUE, DENTRO DE UN TRAZO ALEATORIO, SU TRAYECTORIA ES DE APROXIMACIÓN A UNA CURVA QUE REPRESENTA A OTRA GRÁFICA DE OTRA FUNCIÓN; AMBAS TIENEN SUS LÍMITES DENTRO DEL ÁREA DEFINIDA POR LA INTEGRAL QUE ASOCIA LA RAZÓN DE AMBOS GRÁFICOS. EN TÉRMINOS SIMPLES, UNA ASÍNTOTA ES UNA RECTA A LA CUAL OTRA FUNCIÓN SE LE VA APROXIMANDO INDEFINIDAMENTE.
BUENO PROFE...MUCHAS GRACIAS QUE PASE BUENAS NOCHES...
Definición del segmento en el plano cartesiano.
El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.
División de un segmento con una razón dada.
Dado un segmento cuyos extremos sean los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2), es posible encontrar las coordenadas de un punto P (x, y), tal que divida al segmento en una razón tal que
Como puede observarse, se han formado 2 triángulos semejantes de donde se puede establecer la siguiente relación:
, es decir:
De donde: x – x1 = r (x2 – x)
x – x1 = r x2 – r x
x
Pendiente de un segmento.
La pendiente de un segmento de recta (o incluso de una recta completa) es en pocas palabras, una medida de la inclinación en el plano cartesiano.
El ángulo de inclinación de un segmento te dice qué ángulo forma ese segmento respecto al eje X (abscisas).
La pendiente es la TANGENTE de ese ángulo de inclinación y se simboliza normalmente con "m"
¨
Por lo tanto, si conoces el ángulo de inclinación
pasa la otra muevelo
y se simboliza normalmente con "m"
¨
Por lo tanto, si conoces el ángulo de inclinación (digamos ß), entonces, la pendiente del segmento de recta se calcula como la tangente de ß, es decir:
pendiente = m = tan ß
Alineación de tres o mas puntos.
La alineación: se unen representando gráficamente una línea sobre los puntos que se quieren alinear.
Angulo entre dos segmentos.
Los dos segmentos que se cortan en un punto, estos necesariamente formaran un angulo. ç
ese angulo es el que piden calcular, para eso tiene que aplicar la siguiente formula trigonometrica.
tangX= m1-m2 / 1+m1.m2
donde.
X: angulo que forman los segmentos
m1= pendiente de una de las rectas
m2 = pendiente de la otra recta.
Definición de lugar geometría.
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Simetría.
ƒ(-x) = 1 - (-x)/2 = 1 + x/2 ≠ ƒ ==> ƒ no es par
-ƒ = -(1 - x/2) = -1 + x/2 ≠ ƒ(-x) ==> ƒ no es impar
La función no tiene paridad.
INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. No se analizan porque la gráfica de una función lineal es una recta.
Buenos dias profesor, soy la aulmna mariaeugenia chirinos Ing. civil seccion 002 nocturno.
1. GEOMETRIA ANALITICA: la geometria anatilica pretende obetener la ecuacion de los sistemas de coordenadas a partir de su lugar geometrico. Por otra parte, esta disciplina permite determinar el lugar geometrico de los puntos que forman parte de la ecuacion del sistema de coordenadas.
2. PLANO CARTESIANO: . Es la unión de dos rectas perpendiculares que dividen un plano en cuatro cuadrantes. A la recta horizontal se le llama eje de las ”x”, o, abscisas y a la recta vertical se llama eje de las “y” u ordenadas. Formando de esta manera cuatro cuadrantes.
3. SIMETRÍA: es la correspondencia exacta en la disposicion de los puntos o partes de un cuerpo o figura respecto a un centro, eje o plano. Esta simetria puede ser esferica, axial o reflectiva.
4. ASINTOTAS: Si para una curva dada, existe una recta talque, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a esa recta decrece continuamente y tiende a cero dicha curva se llama asíntota de la curva, la cual puede ser horizontal o vertical.
5.LUGAR GEOMETRICO: El lugar geométrico lo podemos definir como el conjunto de puntos y solo de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación f(x, y)=0, y además, cualquier punto que se mueve en el plano describe una curva. El hallar la ecuación de la curva y todas sus propiedades es un problema de lugar geométrico, donde se busca una expresión matemática que describa la situación.
6. PENDIENTE DE UN SEGMENTO: Uno de los elementos más importantes de la línea recta es la pendiente, la cual se define como la tangente del ángulo de inclinación. El ángulo de inclinación es aquel que forma la recta con el eje positivo de las X. Dados dos puntos por los cuales pasa la recta, su pendiente se calcula así:
* m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
* m = Tg ().
* Tg() = y2 / x2 = y1 / x1
7. ANGULO ENTR DOS SEGMENTOS: un angulo es la porcion del plano limitado por dos segmentos que poseen un origen comun.
8. REPRESENTACION GRAFICA Y ANALITICA: Ahora estamos en condiciones de representar cualquier función de la forma y = f(x). Por ejemplo podemos representar una función lineal de primer grado y = mx +b cuya representación resulta en una
línea recta en que m es la pendiente y b el intercepto sobre el eje de las y, o una parábola del tipo y = x2, o una circunferencia x2 + y2 = r2, o una elipse etc.
1.-DEFINICION DEL SEGMENTO EN EL PLANO CARTESIANO: Es la interseccion de la semirrecta de origen que pasa por unos puntos dados en el plano cartesiano, en este caso A y B, quienes se denominan extremos del segmento y asi formar una recta en el plano cartesiano.
Ejemplo: dado dos puntos A y B aqui, el segmento es la interseccion de la semirrecta que va desde el origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene el punto A.
2.- DIVISION DE UN SEGMENTO CON UNA RAZON DADA: Consiste en dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r. (Donde PA/PB= r).
3.-PENDIENTE DE UN SEGMENTO: Es aquella que mide el grado de inclinación del segemento respecto al eje X. Mientras el valor de la pendiente sea mayor, la recta tendrá a su vez mayor inclinación.
4.- ALINEACION DE TRES O MAS PUNTOS: Los vectores también pueden servir por comprobar si tres o más puntos A, B, C, D, están alineados, es decir, si existe una recta que pasa por todos ellos. Por ejemplo: Se puede considerar el caso de tres puntos A, B y C, pudiéndose generalizar todo lo que diremos a más de tres puntos.
Si A, B y C están alineados, entonces los vectores y tienen la misma dirección, es decir, son paralelos. Y si A, B y C no están alineados, entonces estos vectores y no son paralelos. Por lo tanto, la condición que han de verificar A, B y C para que estén alineados es que los vectores y sean paralelos (recordemos que y son paralelos si tienen las componentes proporcionales).
5.- ANGULO FORMADO ENTRE DOS PUNTOS: es toda región de un plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen
Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
5.-DEFINICION DE LUGAR GEOMETRICO: Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Es un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad geométrica determinada, de un modo integrante y excluyente:
Integrante porque todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico y Excluyente porque todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.
6.-SIMETRIA: se define como la disposicion de las diferentes partes de un sujeto de una forma ordenada y correspondiente, la simetria supone equilibruio. Por ejemplo cuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el concepto de simetría está asociado a transformaciones geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones.
7.- SINTOTAS:son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito. Por ejemplo Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de síntota.
Segmento del plano cartesiano:
Un segmento es parte de una línea en el plano cartesiano consiste de dos puntos llamados puntos extremos y todos los puntos entre medio de ellos Los extremos de un segmento forman parte del mismo. Un segmento de extremos A y B se designa AB.
Division de un segmento con una razon dada:
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r
Pendiente de un Segmento:
La pendiente de un segmento se obtiene con la siguiente relación:
m=(Yf - Yi) / (Xf - Xi) donde:
m= Pendiente
Yf= Valor final de la coordenada en el eje Y (ordenada final)
Yi = Valor inicial de la coordenada en el eje Y (ordenada inicial)
Xf= Valor final de la coordenada en el eje X (absisa final)
Xi = Valor inicial de la coordenada en el eje X (absisa inicial)
Ejemplo: pendiente del segmento que une los puntos (1,3) y (2, 6)
Yf=6 Yi=3 Xf=2 Xi= 1
m= (6-3)/(2-1)= 3/1 = 3; por lo tanto la pendiente es 3
Alineacion de treo mas puntos de un segmento
son vectores también pueden servir para comprobar si tres o más puntos A, B, C, D, están alineados, es decir, si existe una recta que pasa por todos ellos. Por ejemplo: Se puede considerar el caso de tres puntos A, B y C, pudiéndose generalizar todo lo que diremos a más de tres puntos.
Angulo entre dos segmentos
EL ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice.ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Lugar geometrico
Es un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad geométrica determinada, de un modo integrante y excluyente:
Integrante : todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.
Excluyente : todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.
Simetrías:
Una función es :
Simétrica respecto al eje OY si ; se dice que f(x) presenta simetría par.
Simétrica respecto al origen de coordenadas si ; se dice que f(x) presenta simetría impar
Asíntotas.
Definimos asíntota de una función a la recta a la que se aproxima la función en el infinito. Puede ocurrir esto en el infinito de la variable x o en el infinito de la imagen de la variable f(x). Así cabe hablar de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
Segmento del plano cartesiano:
de un punto en el plano viene dada por sus dos coordenadas: la primera coordenada se llama abscisa y la segunda ordenada. Entonces, un punto cualquiera se expresa de la forma siguiente: P(x,y).
Consideremos los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el plano cartesiano y, a continuación, trazamos el segmento determinado por dichos puntos que representaremos por la notación: AB.
Division de unSegmento con razon dada:
Toda recta de un plano cartesiano divide a este en dos semiplanos se un segmento AB en una relacion es determinado el punto de la recta que tiene segmento AB.
Pendiente de un segmento
Es la que mide los grados de inclinacion de un segmento respecto al eje X asi mientras mas valor tenga la pendiente la recta sera mas inclinada
Alineacion de tres o mas puntos
Si los tres puntos A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) estén alineados, entonces los dos triángulos señalados son semejantes y, por tanto, sus lados son proporcionales.
Angulo entre dos Segmentos
Son rectas dirigidas por los dos lados que se alejan del vértice. El ángulo de inclinación de una recta está formado por la parte positiva del eje X.
Lugar Geometrico
Estan denominado por un conjunto de los puntos del plano que satisfacen una determinada propiedad. dicha propiedad se enuncia habitualmente en términos de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas en el plano y/o en términos del valor de un ángulo.
Asintotas
Si para una curva dada, existe una recta talque, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a esa recta decrece continuamente y tiende a cero dicha curva se llama asíntota de la curva, la cual puede ser horizontal o vertical.
Simetria
Es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.
Definicion de un segmento en el plano cartesiano:
Es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A.
Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta
sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.
División de un segmento con una razón dada:
El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.
La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuántas veces la una contiene a la otra.
Pendiente de un segmento:
La pendiente de un segmento de recta o incluso de una recta completa, es en pocas palabras, una medida de la inclinación en el plano cartesiano.
El ángulo de inclinación de un segmento te dice qué ángulo forma ese segmento respecto al eje X abscisas.
La pendiente es la tangente de ese ángulo de inclinación y se simboliza normalmente con "m"
Angulo entre dos segmentos:
Tienes 02 segmentos que se cortan en un punto, estos necesariamente formaran un angulo. ç
ese angulo es el que te piden calcular, para eso tienes que aplicar la siguiente formula trigonometrica.
tangX= m1-m2 / 1+m1.m2
donde.
X: angulo que forman los segmentos
m1= pendiente de una de las rectas
m2 = pendiente de la otra recta
Lugares Geométricos:
Es un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad geométrica determinada, de un modo integrante y excluyente:
Integrante: todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.
Excluyente: todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.
Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.
Mediatriz: Recta perpendicular al punto medio de un segmento. Mediatrices de un triángulo son las m. de cada uno de sus lados. Las tres m. concurren en un punto llamado circuncentro del triángulo. También se puede definir la mediatriz de un segmento como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.
Bisectriz: De un ángulo, es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. También se puede definir la bisectriz de un ángulo como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de los lados del ángulo.
LEVI NAYLA OCHOA GARCIA
C.I. V.- 17.173.743.
SECCION 01
AULA 19
SEMESTRE 01
INGENIERIA CIVIL
HOLA PROFESOR, AUNQUE YO YA LE RESPONDI LA TAREA DE PLANO CARTESIANO, AQUI LE MUESTRO UNA RESPUESTA MAS SENCILLA !
ES LA EXPRESION MATEMATICA, LO QUE ESTUDIA LA GEOMETRIA ANALITICA Y SE ASOCIA LA FIGURA EN UN PUNTO PLANO