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.Etimología 2 Elementos de la circunferencia 3 La circunferencia y un punto: posiciones relativas 4 La circunferencia y la recta: posiciones relativas 5 Relación entre dos circunferencias: posiciones relativas 6 Ángulos respecto de una circunferencia 7 Longitud de la circunferencia 8 Ecuaciones de la circunferencia 8.1 Ecuación en coordenadas cartesianas 8.2 Ecuación vectorial de la circunferencia 8.3 Ecuación en coordenadas polares 8.4 Ecuación en coordenadas paramétricas 9 Área del círculo delimitado
la circunferencia: curvas que se estudian en Geometría la más importante, la más regular y al mismo tiempo la más sencilla, es, sin duda, la circunferencia. La definiremos diciendo: que es una curva cerrada y plana, cuyos puntos están igualmente distantes de otro interior, que se llama Centro.
Circulo: Es la superficie plana limitada por la circunferencia.
"Téngase presente que círculo y circunferencia son cosas distintas, pues, según resulta de las definiciones anteriores, el primero es una superficie y la segunda una línea."
Toda recta que va desde el centro a la circunferencia se llama radio. Todos los radios de una circunferencia son iguales, pues miden la misma distancia.
Diámetro es toda recta que va desde un punto a otro de la circunferencia, pasando por el centro; es igual a la suma de dos radios.
Llamase arco a una porción cualquiera de la circunferencia. Si se divide una circunferencia en cuatro partes o arcos iguales, cada uno de estos toma el nombre de cuadrante.
Cuerda es la recta que une las extremidades de un arco. El diámetro es la mayor de las cuerdas que pueden trazarse en una circunferencia.
Saeta o flecha es la recta que divide a la cuerda y a su arco en dos partes iguales. Su prolongación pasa por el centro de la circunferencia
LA CIRCUNFERENCIA ES: El lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada.
LA ETIMOLOGIA: La palabra circunferencia proviene del latín circumferentĭa que a su vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor. Durante mucho tiempo se utilizo el termino circulo tanto para la superficie como para la curva que de delimita. La circunferencia actualmente se define como el círculo que define la superficie y su curva como circunferencia. En términos coloquiales la circunferencia se asocia con los conceptos de ARO o ANILLO; y el circulo se asocia mas a DISCO o PLATO.
2.- ELEMENTO DE LA CIRCUNFERENCIA:
• Centro
• Radio
• Diámetro
• Cuerda
• Recta secante
• Recta tangente
• Punto de tangencia
• Semi circunferencia
3.- LA CIRCUNFERENCIA Y UN PUNTO: ENTRE POSICIONES RELATIVAS
Un punto en el plano puede ser:
• Exterior a la circunferencia
• Sobre la circunferencia
• Interior a la circunferencia
4.- LA CIRCUNFERENCIA Y LA RECTA: POSICIONES RELATIVAS
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
• Exterior
• Tangente
• Secante
5.- RELACIÓN ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS POSICIONES RELATIVAS
Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:
• Exteriores: si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
• Tangentes exteriormente: si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios.
• Secantes: si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
• Tangentes interiormente: si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.
• Interiores excéntricas: si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que la diferencia de sus radios.
• Interiores concéntricas: si tienen el mismo centro y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo.
• Coincidentes: si tienen el mismo centro y el mismo radio.
6.- Ángulos respecto de una circunferencia
Un ángulo, respecto de una circunferencia, puede ser:
Ángulo central: si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
Ángulo inscrito: si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
Ángulo semi-inscrito: si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia.
Ángulo interior: si su vértice está en el interior de la circunferencia.
Á Longitud de la circunferencia
La longitud de una circunferencia es:
l= 2pi. r
8 Ecuaciones de la circunferencia
8.1 Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
x^2 + Y^2 = r^2
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia geométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
8.2 ECUACIÓN VECTORIAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Es de la forma: P = Fo + r (cos φ,sen φ)
Con P = (x , y) cualquier punto sobre la circunferencia, Fo es el centro, r es el radio constante y φ es el parámetro variable: cualquier ángulo entre 0 y 360° inclusive sobre el que se define el punto en la circunferencia.
8.3 ECUACIÓN EN COORDENADAS POLARES
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
r = c
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:
r^2 = 2sr cos( &-$) +S`2 = c^2
8.4 ECUACIÓN EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
x =a + c cost
y = b + csent
9 ÁREA DEL CÍRCULO DELIMITADO
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
A = pi r^2
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema por el perímetro del polígono dividido entre 2, circunferencia, por tanto:
Angulo exterior: si tiene su vértice en el exterior de ésta.
Ing civil 001 nocturno.
1.- Etimolgia:
Apolonio comienza sus estudios en geometría analítica, descubriendo el principio fundamental de la geometría analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o curva". estableció que: El lugar geométrico de los puntos cuya distancia desde un punto fijo es un múltiplo de su distancia desde otro punto fijo es una circunferencia.
Con esto después formulo e identificó las expresiones xy=k2; a2+x2=ky; x2+y2+2ax+2by=c2; a2-x2=ky2 como la circunferencia y elipse respectivamente.
1.1 La circunferencia: es una figura plana denominada secciones cónicas o simplemente cónicas, porque se generan al intersectar un plano con un cono. Dependiendo de la posición relativa del plano y el cono Una circunferencia es una figura plana cuya característica esencial es que sus puntos son todos aquellos que equidistan de un punto fijo llamado centro de la circunferencia.
2.-Elementos de la circunferencia: Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
a) Centro: el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
b) Radio: el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.
c) Diámetro: el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro.
d) Cuerda: el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros.
e) Recta secante: la que corta a la circunferencia en dos puntos.
f) Recta tangente: la que toca a la circunferencia en un sólo punto.
h) Punto de tangencia: el de contacto de la tangente con la circunferencia.
i) Arco: el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.
j) Semicircunferencia: cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
3.- Posiciones relativas:
3.1 La circunferencia y un punto:Un punto en el plano puede ser:
a) Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
b) Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
c) Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
3.2La circunferencia y la recta: Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
a) Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
b) Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
c)Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
3.3Dos circunferencias Dos circunferencias, en función de sus pocisones relativas, se denominan:
a) Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
b) Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
c) Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.
d) Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
e) Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
f) Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
g) Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.
4.- Ángulos en una circunferencia
4.1 Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
4.2 Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
b) La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
c) La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco.
4.3 Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
a) La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
4.4 Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
b) La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
4.5 Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia.
5.Longitud de la circunfernecia: La longitud de la circunferencia es igual al producto de su diámetro por el número pi y Como el diametro es igual a 2r, entonces la longitud es igual a 2pi radian.
6. Ecuacion en coordenadas cartesianas:
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación: (x-h)^2 + (y-k)^2 es igual a r^2.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica en x^2 + y^2 es igual a r.
De la ecuación general de una circunferencia se susituye:
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F es igual a 0. Es decir se sustItuye (x-h)= Dx, y (y-k)= Ey.
6.- Ecuación vectorial de la circunferencia.
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: vec "r" = angl R Cos(de theta). Donde theta es el parámetro de la curva, además cabe destacar que theta = 0,2pi. Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado.
7.- Ecuacion en coordenadas polares:
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como (r, theta), r= c.
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto (s, alpha) y el radio es c, la ecuacion se transforma en:
r^2-2sr Cos de (theta- alpha)+ s^2= c^2.
8.- Ecuación en coordenadas paramétricas.
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como: x= a+c Cost, y= b+c Sint, t= 0,2 pi.
9.- Area del circulo delimitado:
El área del círculo delimitado por la circunferencia es: A= pi. r^2.
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: A= p.a/2
LA CIRCUNFERENCIA: Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
LA ETIMOLOGIA: La palabra circunferencia proviene del latín circumferentĭa que a su vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor. Durante mucho tiempo se utilizo el termino circulo tanto para la superficie como para la curva que de delimita. La circunferencia actualmente se define como el círculo que define la superficie y su curva como circunferencia. En términos coloquiales la circunferencia se asocia con los conceptos de ARO o ANILLO; y el circulo se asocia mas a DISCO o PLATO.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA: Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;
cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
LA CIRCUNFERENCIA Y UN PUNTO
Un punto en el plano puede ser:
Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
LA CIRCUNFERENCIA Y LA RECTA
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
DOS CIRCUNFERENCIAS, EN FUNCIÓN DE SUS POCISONES RELATIVAS, SE DENOMINAN:
Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)
Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)
Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)
Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)
Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)
Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.
UN ÁNGULO, RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA, PUEDEN SER:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia
LA LONGITUD L DE UNA CIRCUNFERENCIA ES:
L= π.2r
Donde (r) es la longitud del radio.
Pues π (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y eldiámetro:
π=L/2r
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
x^2 + Y^2 = r^2
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia geométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Es de la forma: P = Fo + r (cos φ,sen φ)
Con P = (x , y) cualquier punto sobre la circunferencia, Fo es el centro, r es el radio constante y φ es el parámetro variable: cualquier ángulo entre 0 y 360° inclusive sobre el que se define el punto en la circunferencia.
ECUACIÓN EN COORDENADAS POLARES
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
r = c
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:
r^2 = 2sr cos( &-$) +S`2 = c^2
ECUACIÓN EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
x =a + c cost
y = b + csent
EL ÁREA DEL CÍRCULO DELIMITADO POR LA CIRCUNFERENCIA ES:
A= π.r2
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: .
A=p.a/2
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:
A=p.a/2=L.r/2=(2.π.r).r/2=2.π.r2/2= π.r2
HOLA PROFE SOY LA ALUMNA YELIMAR MUÑOZ
C.I. 21.484.810
ING.CIVIL 001
LA CIRCUNFERENCIA:
1. ETIMOLOGÍA: Es el origen de las palabras, razón de su existencia, de su significación y de su forma.
2. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA:
A. Centro: el punto interior equidistante de todos los puntos de las circunferencias.
B. Radio: el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
C. Cuerda: es el segmento determinado por dos puntos cualesquiera de una circunferencia.
D. Arco: Es todo conjunto de puntos consecutivos de una circunferencia.
E. Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
F. Secante: es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
G. Tangente: es la recta que toca a la circunferencia en un único punto.
3. LA CIRCUNFERENCIA Y UN PUNTO:
A. Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
B. Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
C. Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
4. LA CIRCUNFERENCIA Y LA RECTA:
A. Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
B. Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
C. Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
5. RELACIÓN ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS:
A. Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
B. Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
C. Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.
D. Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
E. Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
F. Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
G. Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.
6. ÁNGULOS RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA:
A. Ángulo Central: tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.
B. Ángulo Inscrito, tiene su vértice en la circunferencia.
C. Ángulo Interior, tiene su centro en un punto interior del círculo.
D. Ángulo Exterior, tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma.
7. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA:
La longitud es igual al producto de su diametro por el número.
tt(theta) . L (longitud) = d (diametro) . tt(theta)
Como d = 2r, resulta
L = 2 tt r
8. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA:
8.1) Ecuacion en coordenadas cartesianas:
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación: (x-h)^2 + (y-k)^2 es igual a r^2.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica en x^2 + y^2 es igual a r.
De la ecuación general de una circunferencia se susituye:
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F es igual a 0. Es decir se sustItuye (x-h)= Dx, y (y-k)= Ey.
8.2) Ecuación vectorial de la circunferencia:
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: vec "r" = angl R Cos(de theta). Donde theta es el parámetro de la curva, además cabe destacar que theta = 0,2pi. Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado.
8.3) Ecuacion en coordenadas polares:
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como (r, theta), r= c.
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto (s, alpha) y el radio es c, la ecuacion se transforma en:
r^2-2sr Cos de (theta- alpha)+ s^2= c^2.
8.4) Ecuación en coordenadas paramétricas:
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como: x= a+c Cost, y= b+c Sint, t= 0,2 pi.
9. AREA DEL CIRCULO DELIMITADO:
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
A = pi r^2
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema por el perímetro del polígono dividido entre 2, circunferencia, por tanto:
Angulo exterior: si tiene su vértice en el exterior de ésta.
GRACIAS...POR LEERLO... ATENTAMENTE...YELIMAR MUÑOZ...
seccion: 001 nocturno ING. CIVIL
ETIMOLOGIA: *. Ciencia lingüística que estudia el orígen y la evolución de las palabras o de otras partes del lenguaje (como raíces, morfemas, etc.)
*. Origen y evolución de una palabra en particular. *
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA. Centro. Es el punto fijo que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia
Radio. Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia, se representa por R o r.
Diámetro. Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. El diámetro contiene a dos veces el radio.
Cuerda. Segmento que une dos puntos de la circunferencia.
La máxima cuerda es el diámetro.
Secante. Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
Arco. Un arco es una porción de la circunferencia comprendido entre dos Puntos
Tangente. Es una recta que tiene un punto común con la circunferencia. Al punto común se le llama punto tangente.Distancia de un punto a una recta.
La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento que une el punto con la recta formando ángulo recto.
Si el punto P está en la recta r, d (P,r) = 0
LA CIRCUNFERENCIA Y LA RECTA : POCISIONES RELATIVAS:
Una recta y una circunferencia pueden ser exteriores, tangentes y secantes en función de como sea la distancia d del centro de la circunferencia a la recta con respecto al radio R de la circunferencia.
Exteriores.
La distancia de O a r es mayor que R.
La recta y la circunferencia no tienen puntos comunes.
Tangentes.
La distancia del centro de la circunferencia a la recta es igual al radio de ésta.
La recta y la circunferencia tienen un punto en común.
Secantes.
La distancia del centro O de la circunferencia a la recta es menor que el radio r.
Hay dos puntos comunes a recta y circunferencia. ANGULOS RESPECTO A LA CIRCUNFERENCIA: Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia.
El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite. Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo. Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma longitud de la circunferencia: La longitud de una circunferencia es igual a pi por el diámetro.
longitud de la circunferencia
La longitud de una circunferencia es igual a 2 pi por el radio. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA:
2.1. Ecuación Explícita : x2+y2+mx+ny+p=0
Desarrollando la ecuación (x-a)2+(y-b)2=R2 , se obtiene : x2+y2-2ax-2by+a2+b2-R2=0. Renombrando los términos como:
-2a = m
-2b=n Se obtiene x2+y2+mx+ny+p=0
a2+b2-R2=p
ecuacion de coordenadas cartesianas: El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente ECUACION COORDENADAS POLARES: El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano) ECUACION EN COORDENADAS PARAMETRICAS: En matemática, una ecuación paramétrica permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios, llamados parámetros, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprendan los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil.
ETIMOLOGIA: es el origen de las palabras ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIAS: radio, centro, cuerda, arco, diametro, secante, tangente LA CIRCUNFERENCIA Y LA RECTA: POCOSIONES RELATIVAS: Una recta y una circunferencia pueden ser exteriores, tangentes y secantes en función de como sea la distancia d del centro de la circunferencia a la recta con respecto al radio R de la circunferencia. ANGULOS RESPECTO A LA CIRCUNFERENCIA: angulo central, inscrito, interior, exterior. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA: tt(theta) . L (longitud) = d (diametro) . tt(theta)
Como d = 2r, resulta
L = 2 tt r ECUACION DE COORDENADAS CARTESIANAS: Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica en x^2 + y^2 es igual a r.
De la ecuación general de una circunferencia se susituye:
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F es igual a 0. Es decir se sustItuye (x-h)= Dx, y (y-k)= Ey. ECUACIONES VECTOIAL DE LA CIRCUNFERENCIA:Donde theta es el parámetro de la curva, además cabe destacar que theta = 0,2pi. Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio. ECUACION DE COORDENADAS POLARES: De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano) ECUACION DE COORDENADAS PARAMETRICAS: La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como: x= a+c Cost, y= b+c Sint, t= 0,2 pi. AREA DEL CIRCULO DELIMITADO: El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
A = pi r^2
Ign civil 001 nocturno
Elementos de la Circunferencia:
RADIO: segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.
DIÁMETRO: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.
CUERDA: es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
ARCO: porción de la circunferencia entre dos puntos de la misma.
Elementos del circulo:
SEGMENTO CIRCULAR: todos los puntos o espacio que se encuentran entre el arco y su cuerda.
SECTOR CIRCULAR: todos los puntos o espacio que se encuentran entre los lados de un ángulo al centro y el arco correspondiente.
ÁNGULO AL CENTRO: es el ángulo que se traza del centro de la circunferencia.
La circunferencia y un punto
Un punto en el plano puede ser:
• Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
• Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
• Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio
Posiciones relativas:
La circunferencia y un punto
Un punto en el plano puede ser:
• Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
• Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
• Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
La circunferencia y la recta puede ser:
• Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
• Tangente, si la toca en un punto el punto de tangencia y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
• Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:
• Exteriores: si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
• Tangentes exteriormente: si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
• Secantes: si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.
• Tangentes interiormente: si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
• Interiores excéntricas: si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
• Interiores concéntricas: si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
• Coincidentes: si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.
Ángulos en una circunferencia:
Ángulo central: si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito: si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas. La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco.
Ángulo semi-inscrito: si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia, la amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
se deduce:
resultando:
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,
la ecuación de la circunferencia es:
Ecuación vectorial de la circunferenciaLa circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: .Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
Ecuación en coordenadas polares:
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c.
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semi-producto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: .
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:
LEVI NAYLA OCHOA GARCIA, CI: 17.173.743.
INGENIERIA CIVIL, SECCION: 001
NOCTURNO, PRESENTE!
ETIMOLOGIA DE LA CIRCUFERENCIA: La palabra circunferencia proviene del latín circunferencia que a su vez deriva de circunferencia que significa llevar alrededor, La Circunferencia Es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA:
CENTRO: Punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
RADIO: Es la distancia desde el centro a un punto de la circunferencia.
DIAMETRO: El mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y, lógicamente, pasa por el centro.
CUERDA: El segmento que une dos puntos de la circunferencia, las cuerdas de longitud máxima son los diámetros.
RECTA SECANTE: La que corta a la circunferencia en dos puntos.
RECTA TANGENTE: La que toca a la circunferencia en un sólo punto.
PUNTO DE TANGENCIA: El de contacto de la tangente con la circunferencia.
ARCO: Segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.
SEMICIRCUNFERENCIA: Cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
QUE ES LA CIRCUFERENCIA Y UN PUNTO:
Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
Sobre la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
LA CIRCUNFERENCIA Y LA RECTA:
Exterior,: si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
Tangente,: si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
Secante,: si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
RELACION ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS:
Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
ANGULOS A LA CIRCUNFERENCIAS:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
LOGINTUD DE CIRCUNFERENCIA: Donde es la longitud del radio.
Pues (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA:
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación.
ECUACION VECTORIAL DE LA CIRCUNFERENCIA:
Es el centro, r es el radio constante y φ es el parámetro variable: cualquier ángulo entre 0 y 360° inclusive sobre el que se define el punto en la circunferencia.
ECUACION EN COORDENADAS POLARES:
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
ECUACION EN COORDENADAS PERIMETRICAS:
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se paramétrica con funciones trigonométricas.
AREA DEL CÍRCULO DELIMITADO:
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema por el perímetro del polígono dividido entre 2.
MUCHAS GRACIAS !!!
YEIMIS. DLIMA MOLINA SECCION 002 INGENERIA CIVIL NOCTURNO CI 19320116.3.
LA ETIMOLOGIA: La palabra circunferencia proviene del latín circumferentĭa que a su vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor. Durante mucho tiempo se utilizo el termino circulo tanto para la superficie como para la curva que de delimita.
LA CIRCUNFERENCIA ES: El lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro esta distancia se denomina radio.
2.- ELEMENTO DE LA CIRCUNFERENCIA:
• Centro
• Radio
• Diámetro
• Cuerda
• Recta secante
• Recta tangente
• Punto de tangencia
• Semi circunferencia
3.- LA CIRCUNFERENCIA Y UN PUNTO: ENTRE POSICIONES RELATIVAS
Un punto en el plano puede ser:
• Exterior a la circunferencia
• Sobre la circunferencia
• Interior a la circunferencia
4.- LA CIRCUNFERENCIA Y LA RECTA: POSICIONES RELATIVAS
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
• Exterior
• Tangente
• Secante
5.- RELACIÓN ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS POSICIONES RELATIVAS
Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:
• Exteriores: si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
• Tangentes exteriormente: si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios.
• Secantes: si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
• Tangentes interiormente: si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.
• Interiores excéntricas: si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que la diferencia de sus radios.
• Interiores concéntricas: si tienen el mismo centro y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo.
• Coincidentes: si tienen el mismo centro y el mismo radio.
6.- Ángulos respecto de una circunferencia
Un ángulo, respecto de una circunferencia, puede ser:
Ángulo central: si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
Ángulo inscrito: si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
Ángulo semi-inscrito: si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia.
Ángulo interior: si su vértice está en el interior de la circunferencia.
Á Longitud de la circunferencia
La longitud de una circunferencia es:
l= 2pi. r
8. Ecuaciones de la circunferencia
8.1 Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
x^2 + Y^2 = r^2
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia geométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
8.2 ECUACIÓN VECTORIAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Es de la forma: P = Fo + r (cos φ,sen φ)
Con P = (x , y) cualquier punto sobre la circunferencia, Fo es el centro, r es el radio constante y φ es el parámetro variable: cualquier ángulo entre 0 y 360° inclusive sobre el que se define el punto en la circunferencia.
8.3 ECUACIÓN EN COORDENADAS POLARES
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
r = c
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:
r^2 = 2sr cos( &-$) +S`2 = c^2
8.4 ECUACIÓN EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
x =a + c cost
y = b + csent
9 ÁREA DEL CÍRCULO DELIMITADO
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
A = pi r^2
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema por el perímetro del polígono dividido entre 2, circunferencia, por tanto:
Angulo exterior: si tiene su vértice en el exterior de ésta.
EUDY ANTHONY COLMENAREZ SECCION 002 UNGENERIA CIVIL NOCTURNO CI 24570332.
1.- Etimolgia:
Apolonio comienza sus estudios en geometría analítica, descubriendo el principio fundamental de la geometría analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o curva". estableció que: El lugar geométrico de los puntos cuya distancia desde un punto fijo es un múltiplo de su distancia desde otro punto fijo es una circunferencia.
Con esto después formulo e identificó las expresiones xy=k2; a2+x2=ky; x2+y2+2ax+2by=c2; a2-x2=ky2 como la circunferencia y elipse respectivamente.
1.1 La circunferencia: es una figura plana denominada secciones cónicas o simplemente cónicas, porque se generan al intersectar un plano con un cono. Dependiendo de la posición relativa del plano y el cono Una circunferencia es una figura plana cuya característica esencial es que sus puntos son todos aquellos que equidistan de un punto fijo llamado centro de la circunferencia.
2.-Elementos de la circunferencia: Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
a) Centro: el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
b) Radio: el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.
c) Diámetro: el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro.
d) Cuerda: el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros.
e) Recta secante: la que corta a la circunferencia en dos puntos.
f) Recta tangente: la que toca a la circunferencia en un sólo punto.
h) Punto de tangencia: el de contacto de la tangente con la circunferencia.
i) Arco: el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.
j) Semicircunferencia: cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
3.- Posiciones relativas:
3.1 La circunferencia y un punto:Un punto en el plano puede ser:
a) Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
b) Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
c) Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
3.2La circunferencia y la recta: Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
a) Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
b) Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
c)Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
3.3Dos circunferencias Dos circunferencias, en función de sus pocisones relativas, se denominan:
a) Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
b) Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
c) Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.
d) Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
e) Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
f) Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
g) Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.
4.- Ángulos en una circunferencia
4.1 Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
4.2 Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
b) La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
c) La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco.
4.3 Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
a) La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
4.4 Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
b) La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
4.5 Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia.
5.Longitud de la circunfernecia: La longitud de la circunferencia es igual al producto de su diámetro por el número pi y Como el diametro es igual a 2r, entonces la longitud es igual a 2pi radian.
6. Ecuacion en coordenadas cartesianas:
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación: (x-h)^2 + (y-k)^2 es igual a r^2.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica en x^2 + y^2 es igual a r.
De la ecuación general de una circunferencia se susituye:
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F es igual a 0. Es decir se sustItuye (x-h)= Dx, y (y-k)= Ey.
6.- Ecuación vectorial de la circunferencia.
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: vec "r" = angl R Cos(de theta). Donde theta es el parámetro de la curva, además cabe destacar que theta = 0,2pi. Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado.
7.- Ecuacion en coordenadas polares:
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como (r, theta), r= c.
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto (s, alpha) y el radio es c, la ecuacion se transforma en:
r^2-2sr Cos de (theta- alpha)+ s^2= c^2.
8.- Ecuación en coordenadas paramétricas.
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como: x= a+c Cost, y= b+c Sint, t= 0,2 pi.
9.- Area del circulo delimitado:
El área del círculo delimitado por la circunferencia es: A= pi. r^2.
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: A= p.a/2
HENRRY MONTENEGRO SECCION 002 CI 10322525 DE INGENERIA CIVIL -NOCTURNO
LA CIRCUNFERENCIA: Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
LA ETIMOLOGIA: La palabra circunferencia proviene del latín circumferentĭa que a su vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor. Durante mucho tiempo se utilizo el termino circulo tanto para la superficie como para la curva que de delimita. La circunferencia actualmente se define como el círculo que define la superficie y su curva como circunferencia. En términos coloquiales la circunferencia se asocia con los conceptos de ARO o ANILLO; y el circulo se asocia mas a DISCO o PLATO.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA: Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;
cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
LA CIRCUNFERENCIA Y UN PUNTO
Un punto en el plano puede ser:
Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
LA CIRCUNFERENCIA Y LA RECTA
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
DOS CIRCUNFERENCIAS, EN FUNCIÓN DE SUS POCISONES RELATIVAS, SE DENOMINAN:
Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)
Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)
Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)
Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)
Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)
Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.
UN ÁNGULO, RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA, PUEDEN SER:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia
LA LONGITUD L DE UNA CIRCUNFERENCIA ES:
L= π.2r
Donde (r) es la longitud del radio.
Pues π (número pi), por definición, es el cociente entre la longitudde la circunferencia y eldiámetro:
π=L/2r
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
x^2 + Y^2 = r^2
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia geométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Es de la forma: P = Fo + r (cos φ,sen φ)
Con P = (x , y) cualquier punto sobre la circunferencia, Fo es el centro, r es el radio constante y φ es el parámetro variable: cualquier ángulo entre 0 y 360° inclusive sobre el que se define el punto en la circunferencia.
ECUACIÓN EN COORDENADAS POLARES
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
r = c
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:
r^2 = 2sr cos( &-$) +S`2 = c^2
ECUACIÓN EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
x =a + c cost
y = b + csent
EL ÁREA DEL CÍRCULO DELIMITADO POR LA CIRCUNFERENCIA ES:
A= π.r2
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: .
A=p.a/2
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:
A=p.a/2=L.r/2=(2.π.r).r/2=2.π.r2/2= π.r2
Definición de etimología:
La definición de etimología nos indica que procede del griego formado de (etimos): verdadero y autentico y logos: palabras. Etimológicamente hablando, pues, equivale a:
“el verdadero significado de las palabras”
Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio.
Elementos de la circunferencia
Secantes, cuerdas y tangentes.
La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
* centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
* radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
* diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;
* cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
* recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
* recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
o punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
* arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
* semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia
*Interior
Su distancia al centro es menor que el radio.
Punto sobre la circunferencia.
Punto exterior a la circunferencia
Su distancia al centro es mayor que el radio.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
* Recta secante
* La recta corta a la circunferencia en dos puntos.
* Recta tangente
* La recta corta a la circunferencia en un punto.
* Recta exterior
No tiene ningún punto de corte con la circunferencia.
Posiciones relativas de dos circunferencias
Ningún punto en común
Exteriores
La distancia entre los centros es mayor que la suma de las radios.
Interiores
La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.
Concéntricas
Los centros coinciden.
Un punto común
Tangentes exteriores
La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.
Tangentes interiores
La distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.
Dos puntos en común
Secantes
La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.
Ángulos en una circunferencia
Ángulos en la circunferencia.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
Ángulos respecto de una circunferencia
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia
La longitud \ell de una circunferencia es:
\ell = \pi \cdot 2r
donde r \, es la longitud del radio.
Pues \pi \, (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:
\pi = \frac {\ell}{2r}
Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\,.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
x^2 + y^2 = r^2\,.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
(x-h)^2 + (y-k)^2=r^2 \,
se deduce:
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,
resultando:
a = \frac{-D}{2}
b = \frac{-E}{2}
r = \sqrt{a^2 + b^2-F}
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: (x_1,y_1), (x_2,y_2)\,,
la ecuación de la circunferencia es:
(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,
Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: \vec r\ =\langle R\cos(\theta),R\sin(\theta)\rangle \, .Donde \theta \, es el parámetro de la curva, además cabe destacar que \theta\in[0,2\pi) . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
Ecuación en coordenadas polares
Unitivo cicle.según
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como (r,\theta) \,
r=c. \,
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto (s,\alpha) \, y el radio es c \,, la ecuación se transforma en:
r^2 - 2 s r\, \cos(\theta - \alpha) + s^2 = c
Ecuación en coordenadas perimétricas
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
x=a + c \cos t,\ y=b+c\sin t,\qquad t\in[0,2\pi]
y con funciones racionales como
x=a+c\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right),\ y=b+c\left(\frac{2t}{1+t^2}\right),\qquad -\infty\leq t\leq \infty
El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.
Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: \vec r\ =\langle R\cos(\theta),R\sin(\theta)\rangle \, .Donde \theta \, es el parámetro de la curva, además cabe destacar que \theta\in[0,2\pi) . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre
Ecuación en coordenadas polares
Unit circle.svg
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como (r,\theta) \,
r=c. \,
Ecuación en coordenadas para-métricas
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
Artículo principal: Área de un círculo
Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
A = \pi \cdot r^2
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: A = \frac{p \cdot a}{2}.
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:
A = \frac{p \cdot a}{2} = \frac{L \cdot r}{2} = \frac{(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot r}{2} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r^2}{2} = \pi \cdot r^2
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Definición de etimología:
La definición de etimología nos indica que procede del griego formado de (etimos): verdadero y autentico y logos: palabras. Etimológicamente hablando, pues, equivale a:
“el verdadero significado de las palabras”
Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio.
Elementos de la circunferencia
Secantes, cuerdas y tangentes.
La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
* centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
* radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
* diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;
* cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
* recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
* recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
o punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
* arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
* semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia
*Interior
Su distancia al centro es menor que el radio.
Punto sobre la circunferencia.
Punto exterior a la circunferencia
Su distancia al centro es mayor que el radio.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
* Recta secante
* La recta corta a la circunferencia en dos puntos.
* Recta tangente
* La recta corta a la circunferencia en un punto.
* Recta exterior
No tiene ningún punto de corte con la circunferencia.
Posiciones relativas de dos circunferencias
Ningún punto en común
Exteriores
La distancia entre los centros es mayor que la suma de las radios.
Interiores
La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.
Concéntricas
Los centros coinciden.
Un punto común
Tangentes exteriores
La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.
Tangentes interiores
La distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.
Dos puntos en común
Secantes
La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.
Ángulos en una circunferencia
Ángulos en la circunferencia.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
Ángulos respecto de una circunferencia
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia
La longitud \ell de una circunferencia es:
\ell = \pi \cdot 2r
donde r \, es la longitud del radio.
Pues \pi \, (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:
\pi = \frac {\ell}{2r}
Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\,.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
x^2 + y^2 = r^2\,.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
(x-h)^2 + (y-k)^2=r^2 \,
se deduce:
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,
resultando:
a = \frac{-D}{2}
b = \frac{-E}{2}
r = \sqrt{a^2 + b^2-F}
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: (x_1,y_1), (x_2,y_2)\,,
la ecuación de la circunferencia es:
(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,
Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: \vec r\ =\langle R\cos(\theta),R\sin(\theta)\rangle \, .Donde \theta \, es el parámetro de la curva, además cabe destacar que \theta\in[0,2\pi) . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
Ecuación en coordenadas polares
Unitivo cicle.según
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como (r,\theta) \,
r=c. \,
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto (s,\alpha) \, y el radio es c \,, la ecuación se transforma en:
r^2 - 2 s r\, \cos(\theta - \alpha) + s^2 = c
Ecuación en coordenadas perimétricas
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
x=a + c \cos t,\ y=b+c\sin t,\qquad t\in[0,2\pi]
y con funciones racionales como
x=a+c\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right),\ y=b+c\left(\frac{2t}{1+t^2}\right),\qquad -\infty\leq t\leq \infty
El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.
Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: \vec r\ =\langle R\cos(\theta),R\sin(\theta)\rangle \, .Donde \theta \, es el parámetro de la curva, además cabe destacar que \theta\in[0,2\pi) . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre
Ecuación en coordenadas polares
Unit circle.svg
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como (r,\theta) \,
r=c. \,
Ecuación en coordenadas para-métricas
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
Artículo principal: Área de un círculo
Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
A = \pi \cdot r^2
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: A = \frac{p \cdot a}{2}.
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:
A = \frac{p \cdot a}{2} = \frac{L \cdot r}{2} = \frac{(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot r}{2} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r^2}{2} = \pi \cdot r^2
LUYMARI ROJAS SECCION 002 ING.C.NOCTURNA
1. La Etimología
La palabra circunferencia proviene del latín circumferentĭa que a su vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor. Durante mucho tiempo se utilizo el termino circulo tanto para la superficie como para la curva que de delimita. La circunferencia actualmente se define como el círculo que define la superficie y su curva como circunferencia. En términos coloquiales la circunferencia se asocia con los conceptos de ARO o ANILLO; y el círculo se asocia más a DISCO o PLATO. Apolonio comienza sus estudios en geometría analítica, descubriendo el principio fundamental de la geometría analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o curva". Estableció que: El lugar geométrico de los puntos cuya distancia desde un punto fijo es un múltiplo de su distancia desde otro punto fijo es una circunferencia.
2. Elementos de la circunferencia
• centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
• radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
• diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;
• cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
• recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
• recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
o punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
• arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
• semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
3. La Circunferencia y un Punto: Posiciones Relativas
Un punto en el plano puede ser:
• Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
• Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
• Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
4. La circunferencia y un punto
Un punto en el plano puede ser:
• Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
• Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
• Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
5. Relación entre Dos Circunferencias
• Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
• Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
• Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.
• Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra
• Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
• Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
• Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.
6. Angulo Respecto de una Circunferencia
• Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
• Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
• Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
• La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
• Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
• La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco.
• Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
• La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
• Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
• La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
• Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia
7. Longitud de la circunferencia
• La longitud de una circunferencia es:
•
• donde es la longitud del radio.
• Pues (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:
•
8. Ecuaciones de la circunferencia
8.1 Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
Se deduce:
Resultando:
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,
La ecuación de la circunferencia es:
8.2 Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: .Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
8.3 Ecuación en coordenadas polares
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:
8.4 Ecuación en Coordenadas Paramétricas
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
y con funciones racionales como
9. Área del Círculo Delimitado
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: .
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:
1)etimologia
es el origen de la palabra de su forma y de su significado, la palabra biene del griego antiguo yewyetpia (geometria) "medicion de la tierra" formando a partir de un derivado de yñ (geo) "tierra" mas yetpia(metria) "medicion".
2) elementos de la circunferencia.
radio: segmento que une el centro con cualquier punto de la linea curva cerrada.
diametro: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.
cuerda: es el segmento que une dos puntos cualquiera de la cicunferencia.
arco: posicion de la circunferencia entre dos puntos de la misma.
recta secante: es la que corta a la circunferencia en dos puntos.
recta tangente:es la que corta a la circunferencia en un solo punto.
punto de tangencia : es el contacto de la tangente con la circunferencia.
semicircunferencia: cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diametro.
3) la circunferencia y uun punto: posiciones relativas.
su forma relativa es:
dentro de la circunferencia:en un punto interno.
sobre la circunferencia:es un punto de la circunferencia.
fuera de la circunferencia: es un punto exterior.
4) la circunferencia y la recta: posiciones relativas.
sus posiciones relativas son:
recte secante: corta a la circunferencia en dos puntos.
recta tangente: corta a la circunferencia en un punto.
recta exterior: no tiene ningu punto de corte con la circunferencia.
5) relacion entre dos circunferencias.
exteriores: la distancia entre los centros es mayor que la suma de radios.
interiores: la distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.
concentricas: los centros coinciden.
6)angulos respecto de una circunferencia.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco.
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior: si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia.
7)longitudde la sircunferencia.
Calcular la longitud de una circunferencia es hallar la medida de la línea que la forma. El cociente entre la longitud y el diámetro de una circunferencia es constante y se denomina pi.
8) ecuaciones de la circunferencia.
Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
x^2 + Y^2 = r^2
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia geométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
8.2 ecuacion vectorial de la circunferencia.
Es de la forma: P = Fo + r (cos φ,sen φ)
Con P = (x , y) cualquier punto sobre la circunferencia, Fo es el centro, r es el radio constante y φ es el parámetro variable: cualquier ángulo entre 0 y 360° inclusive sobre el que se define el punto en la circunferencia.
ECUACIÓN EN COORDENADAS POLARES
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
r = c
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:
r^2 = 2sr cos( &-$) +S`2 = c^2
8.3) ecuacion en coordenadas polares.
Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva algebraica expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo r como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma (r(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función r.
8.4) ecuacion en coordenadas parametricas.
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
x =a + c cost
y = b + csent
9 ÁREA DEL CÍRCULO DELIMITADO
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
A = pi r^2
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema por el perímetro del polígono dividido entre 2, circunferencia, por tanto:
Angulo exterior: si tiene su vértice en el exterior de ésta.
seccin:001
nocturno
1. La Etimología es una disciplina relacionada con la lógica y la lengua histórica que estudia el origen de las palabras investigando su significación originaria y su forma, así como los posibles cambios sufridos a lo largo del tiempo. Además, utilizando métodos de lingüística comparativa, se puede reconstruir información de lenguas que son demasiado antiguas como para obtener alguna fuente directa como la escritura. Así, analizando otros idiomas relacionados, los lingüistas pueden establecer inferencias acerca de la lengua de la que son originarias y su vocabulario.
2. Elementos de la circunferencia
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
centro: el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
radio: el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
diámetro: el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente: pasa por el centro;
cuerda el segmento: que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
recta secante: la que corta a la circunferencia en dos puntos;
recta tangente: la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
punto de tangencia: el de contacto de la tangente con la circunferencia;
arco: el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia
semicircunferencia: cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
3. la circunferenca y un punto
Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
4. la circunferencia y la recta
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
Exterior: si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
Tangente: si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
Secante: si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
5. relacion de dos circunferencia
Dos circunferencias
Dos circunferencias, en función de sus pocisones relativas, se denominan:
Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.
Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.
8. Longitud de la circunferencia
La longitud de una circunferencia es:
donde es la longitud del radio.
Pues (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:
8.1 Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,
la ecuación de la circunferencia es:
8.2 Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: .Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
Ecuación en coordenadas polares
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma
8.4 Ecuación en coordenadas paramétricas
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
y con funciones racionales como
9. El área del círculo delimitado
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: .
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:
C.I. 16.184.408
Ing. Civil seccion 002-N
1.-Etimología
La palabra circunferencia proviene del latín circumferentĭa que a su vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor. Durante mucho tiempo se utilizo el termino circulo tanto para la superficie como para la curva que de delimita. La circunferencia actualmente se define como el círculo que define la superficie y su curva como circunferencia. En términos coloquiales la circunferencia se asocia con los conceptos de ARO o ANILLO; y el círculo se asocia más a DISCO o PLATO
Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
2.- Elementos de la circunferencia.
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
• centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
• radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
• diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;
• cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
• recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
• recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
o punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
• arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
• semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
3.-La circunferencia y un punto: posiciones relativas.
Un punto en el plano puede ser:
• Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
• Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
• Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
4.- La circunferencia y una recta.
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
• Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
• Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
• Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
5.-Relación entre dos circunferencias: posiciones relativas
Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:
• Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)
• Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)
• Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)
• Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)
• Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
• Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)
• Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.
6.-Ángulos respecto de una circunferencia
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia
7.-Longitud de la circunferencia
La longitud de una circunferencia es:
Donde es la longitud del radio.
Pues (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:
8.-Ecuaciones de la circunferencia
8.1.-Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
se deduce:
resultando:
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,
la ecuación de la circunferencia es:
8.2.-Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: .Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
8.3.-Ecuación en coordenadas polares
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:
8.4.-Ecuación en coordenadas paramétricas
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
y con funciones racionales como
9.-Área del círculo delimitado
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: .
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:
C.I. 19.857.421
Ing. Civil seccion 002-N
1.-Etimología
La palabra circunferencia proviene del latín circumferentĭa que a su vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor. Durante mucho tiempo se utilizo el termino circulo tanto para la superficie como para la curva que de delimita. La circunferencia actualmente se define como el círculo que define la superficie y su curva como circunferencia. En términos coloquiales la circunferencia se asocia con los conceptos de ARO o ANILLO; y el círculo se asocia más a DISCO o PLATO
Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
2.- Elementos de la circunferencia.
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
• centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
• radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
• diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;
• cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
• recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
• recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
o punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
• arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
• semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
3.-La circunferencia y un punto: posiciones relativas.
Un punto en el plano puede ser:
• Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
• Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
• Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
4.- La circunferencia y una recta.
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
• Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
• Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
• Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
5.-Relación entre dos circunferencias: posiciones relativas
Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:
• Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)
• Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)
• Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)
• Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)
• Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
• Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)
• Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.
6.-Ángulos respecto de una circunferencia
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia
7.-Longitud de la circunferencia
La longitud de una circunferencia es:
Donde es la longitud del radio.
Pues (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:
8.-Ecuaciones de la circunferencia
8.1.-Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
se deduce:
resultando:
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,
la ecuación de la circunferencia es:
8.2.-Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: .Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
8.3.-Ecuación en coordenadas polares
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:
8.4.-Ecuación en coordenadas paramétricas
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
y con funciones racionales como
9.-Área del círculo delimitado
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: .
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:
ETIMOLOGIA:
La palabra circunferencia proviene del latín circumferentĭa que a su vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor. Durante mucho tiempo se utilizo el termino circulo tanto para la superficie como para la curva que de delimita. La circunferencia actualmente se define como el círculo que define la superficie y su curva como circunferencia. En términos coloquiales la circunferencia se asocia con los conceptos de ARO o ANILLO; y el círculo se asocia mas a DISCO o PLATO.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA: punto fijo del que equidistan todos los puntos de la circunferencia; en la figura 2, el punto O
RADIO r: segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Toda circunferencia queda determinada al conocerse su centro y su radio.
ARCO: porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, que son los extremos del arco; en la figura 2, el arco AB
CUERDA: segmento que une dos puntos de la circunferencia; en la figura 2, el segmento AB. A esta cuerda le corresponde el arco AB y se dice que la cuerda subtiende (se tiende por debajo de) el arco correspondiente.
DIÁMETRO (dia [a través] + metron [medida] = medida a través): cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Todo diámetro subtiende una semicircunferencia.
SAGITA (del latín: sagitta [flecha]), segmento comprendido entre el punto medio de una cuerda y el del arco correspondiente. La sagita siempre forma parte de un radio. El nombre le viene porque el arco y la cuerda, juntos, componen la figura de un arco (arma), dentro del cual la sagita sería la flecha lista para ser disparada.
LA CIRCUNFERENCIA Y UN PUNTO: ENTRE POSICIONES RELATIVAS
Un punto en el plano puede ser: Exterior a la circunferencia, Sobre la circunferencia, Interior a la circunferencia.
LA CIRCUNFERENCIA Y LA RECTA: POSICIONES RELATIVAS
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser: Exterior, Tangente, Secante
RELACIÓN ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS POSICIONES RELATIVAS
Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:
EXTERIORES: si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
TANGENTES EXTERIORMENTE: si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios.
SECANTES: si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
TANGENTES INTERIORMENTE: si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.
INTERIORES EXCÉNTRICAS: si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que la diferencia de sus radios.
INTERIORES CONCÉNTRICAS: si tienen el mismo centro y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo.
COINCIDENTES: si tienen el mismo centro y el mismo radio.
ÁNGULOS RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
En una circunferencia podemos considerar diversos tipos de ángulos, de acuerdo con la ubicación de su vértice y la naturaleza (o posición relativa con respecto a la circunferencia) de sus lados:
A) ÁNGULO CENTRAL, ángulo cuyo vértice se halla en el centro de la circunferencia y cuyos lados contienen sendos radios o, simplemente, son dos radios.
B) ÁNGULO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA, ángulo cuyo vértice se halla en la circunferencia y cuyos lados contienen sendas cuerdas o, simplemente, son dos cuerdas
C) ÁNGULO SEMIINSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA, ángulo cuyo vértice se halla en la circunferencia y cuyos lados son una tangente y una semirrecta que contiene a una cuerda, o, simplemente, una tangente y una cuerda.
D) ANGULO INTERIOR A UNA CIRCUNFERENCIA, ángulo formado por dos secantes (o dos cuerdas) que se interceptan dentro de la circunferencia.
e) Ángulo exterior a una circunferencia, ángulo cuyo vértice es un punto exterior de la circunferencia y cuyos lados pueden ser dos semirrectas secantes, o una secante y otra tangente, o dos tangentes a la circunferencia.
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
La longitud l de una circunferencia es:
L =π.2r
donde r es la longitud del radio.
Pues π (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:
-----l
π=-----
__ 2r
8 ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
8.1 ECUACIÓN EN COORDENADAS CARTESIANAS
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación (x-a)^2 + (y-b)^2 = r Cuando el centro está en el origen
(0, 0), la ecuación anterior se simplifica al x^2 + Y^2 = r^2
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia geométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
8.2 ECUACIÓN VECTORIAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Es de la forma: P = Fo + r (cos φ,sen φ) Con P = (x , y) cualquier punto sobre la circunferencia, Fo es el centro, r es el radio constante y φ es el parámetro variable: cualquier ángulo entre 0 y 360° inclusive sobre el que se define el punto en la circunferencia.
8.3 ECUACIÓN EN COORDENADAS POLARES
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como r = c Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en: r^2 = 2sr cos( &-$) +S`2 = c^2
8.4 ECUACIÓN EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se paramétrica con funciones trigonométricas como: x =a + c cost, y = b + csent
EL ÁREA DEL CÍRCULO DELIMITADO POR LA CIRCUNFERENCIA ES: A= π.r2
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre la apotema y el perímetro del polígono, es decir:
……p.a
A=------
…….2
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, la apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:
___p . a ___L . r______(2. π.r).r________2. π.r2
A=-------=---------=------------------=-----------= π.r2
____2_______2____________2_____________2____
ETIMOLOGIA
La palabra circunferencia proviene del latín circumferentĭa que a su vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor. Durante mucho tiempo se utilizo el termino circulo tanto para la superficie como para la curva que de delimita. La circunferencia actualmente se define como el círculo que define la superficie y su curva como circunferencia. En términos coloquiales la circunferencia se asocia con los conceptos de ARO o ANILLO; y el circulo se asocia mas a DISCO o PLATO.
2 ELEMENTO DE LA CIRCUNFERENCIA:
• Centro
• Radio
• Diámetro
• Cuerda
• Recta secante
• Recta tangente
• Punto de tangencia
• Semi circunferencia
3 LA CIRCUNFERENCIA Y UN PUNTO: ENTRE POSICIONES RELATIVAS
Un punto en el plano puede ser:
• Exterior a la circunferencia
• Sobre la circunferencia
• Interior a la circunferencia
4 LA CIRCUNFERENCIA Y LA RECTA: POSICIONES RELATIVAS
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
• Exterior
• Tangente
• Secante
5 RELACIÓN ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS POSICIONES RELATIVAS
Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:
• Exteriores: si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
• Tangentes exteriormente: si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios.
• Secantes: si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
• Tangentes interiormente: si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.
• Interiores excéntricas: si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que la diferencia de sus radios.
• Interiores concéntricas: si tienen el mismo centro y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo.
• Coincidentes: si tienen el mismo centro y el mismo radio.
6.- Ángulos respecto de una circunferencia
Un ángulo, respecto de una circunferencia, puede ser:
a)Ángulo central: si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
B)Ángulo inscrito: si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
C)Ángulo semi-inscrito: si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia.
D)Ángulo interior: si su vértice está en el interior de la circunferencia.
Longitud de la circunferencia:
La longitud de una circunferencia es:
l= 2pi. r
8 Ecuaciones de la circunferencia
8.1 Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
x^2 + Y^2 = r^2
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia geométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
8.2 ECUACIÓN VECTORIAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Es de la forma: P = Fo + r (cos φ,sen φ)
Con P = (x , y) cualquier punto sobre la circunferencia, Fo es el centro, r es el radio constante y φ es el parámetro variable: cualquier ángulo entre 0 y 360° inclusive sobre el que se define el punto en la circunferencia.
8.3 ECUACIÓN EN COORDENADAS POLARES
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
r = c
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:
r^2 = 2sr cos( &-$) +S`2 = c^2
8.4 ECUACIÓN EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
x =a + c cost
y = b + csent
9 ÁREA DEL CÍRCULO DELIMITADO
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
A = pi r^2
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema por el perímetro del polígono dividido entre 2.
v-17173780
Seccion 002 ing civil noche
A-Etimologia:
Palabra latin se conoce como la disiplina que se ocupa del origien de las palabras,incorporacion al idioma,fuentes y si su forma y siginificado han sido modificado. que significa llevar alrededor. Durante mucho tiempo se utilizo el termino circulo tanto para la superficie como para la curva que delimita.
B-Elementos de la circunferencia:
1-cuerda, 2-diametro,3- arco, 4- semicircuferencia
C-Posiciones relativas de un punto respecto a una circuferencia interior
la distancia del punto al centro es menor que el radio
Punto sobre la circuferencia:
el punto pertenece a la circuferencia
Punto exterior a la circuferencia:
la distancia del punto al centro es mayor que el radio
D- Posiciones relativas de una recta y una cirduferencia
Recta secante: la recta corta a la circuferencia en dos puntos.
Recta tangete: la recta corta a la circuferencia en un punto
Recta exterior: no tiene ningun punto de corte con la circuferencia
E- Posiciones relativa de dos circuferencias
la posicion relativa entre dos circuferencias viene determinada por la distancia entre sus centro (d) y el valor de sus R y R´.
Posiciones relativas de dos circuferencias
Exteriores: la distancia entre los centro es mayor que la suma de las radios.
Interiores: la distancia entre lso centros esmenor que la diferencia de los radios.
Concentricas:los centros coinciden
Tangentes exteriores:la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios
Tangentes interiores: la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.
Dos puntos en comun Secantes:la distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.
F- Angulos en la circuferencia
Angulo central: el angulo central tiene su vertice en el centro de la circuferncia y sus lados son dos radios. la medida de un arco es la de su angulo central correspondiente.
Angulo inscrito: el angulo inscrito tiene su vertice en la circuferencia y sus lados son secantes a ella. mide la mitad del arco que abarca.
Angulo semiinscrito: el vertice de angulo esta en la circuferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Angulo Interior: su vertice es interior a la circuferencia y sus lados secantes a ella.
mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan a sus lados y las prolongaciones de sus lados.
Angulo exterior:su vertice es un punto exterior a la circuferencia y los lados de sus angulos son: o secante a ella, o uno tangente y otro secante o tangente a ella.
mitad de la circiferencia entre las medidas de los arcos que abracan a sus lados sobre la circuferencia.
G- longitud de una curcuferencia
la longitud de una circuferencia es igual a pi por el diametro.
la longitud de una circuferencia es igual a 2pi por el radio.
G.1 Ecuacion de la circuferencia
(x-a)2 +(y-b)2 =r2
x2+y2+ax+by+c=0
a=-2a b=-2b c= a2+b2-r2
c (-a/2 -b/2)r2 = (a/2)2 +(b/2)2 -c
ecuacion reducida de la circuferencia
x2+y2=r2
G.2 ecuacion en coordenadas cartesianas
(x-h)2+(y-k)2 = r2
x2+ y2= r2
G.3 ecuacion vectorial de la circuferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial.
r= (R cos(O), R sin(O) .Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
G.4 ecuacion de coordenadas polares
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como(r,0)
r=c
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto(s,x) y el radio es , la ecuación se transforma en:
r2= -2 sr cos (o-x)+s 2 =c2
G.5 Ecuacion en cordenadas parametricas
la circuferencia con centro en (a,b) y radio c se parametriza con fucnciones trigonometricas como:
x= a +c cost, y= b+ c sint, te (o,2pi)
H- Area de un circulo:
es la medida de la superficie limitada por la circuferencia perimitral del circulo dado el area del circulo delimitado por la circuferencia es:
A= pi. r2
y el perimetro del poligono es
A= p.a/ 2
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:
A= p.a/2=l.r/2 =(2.pi.r).r/2=2.pi.r2/2 = Pi. r2.
LA CIRCUNFERENCIA: Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
LA ETIMOLOGIA: La palabra circunferencia proviene del latín circumferentĭa que a su vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor. Durante mucho tiempo se utilizo el termino circulo tanto para la superficie como para la curva que de delimita. La circunferencia actualmente se define como el círculo que define la superficie y su curva como circunferencia. En términos coloquiales la circunferencia se asocia con los conceptos de ARO o ANILLO; y el circulo se asocia mas a DISCO o PLATO.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA: Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;
cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
LA CIRCUNFERENCIA Y UN PUNTO
Un punto en el plano puede ser:
Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
LA CIRCUNFERENCIA Y LA RECTA
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
DOS CIRCUNFERENCIAS, EN FUNCIÓN DE SUS POCISONES RELATIVAS, SE DENOMINAN:
Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)
Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)
Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)
Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)
Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)
Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.
UN ÁNGULO, RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA, PUEDEN SER:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia
LA LONGITUD L DE UNA CIRCUNFERENCIA ES:
L= π.2r
Donde (r) es la longitud del radio.
Pues π (número pi), por definición, es el cociente entre la longitudde la circunferencia y eldiámetro:
π=L/2r
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
x^2 + Y^2 = r^2
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia geométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Es de la forma: P = Fo + r (cos φ,sen φ)
Con P = (x , y) cualquier punto sobre la circunferencia, Fo es el centro, r es el radio constante y φ es el parámetro variable: cualquier ángulo entre 0 y 360° inclusive sobre el que se define el punto en la circunferencia.
ECUACIÓN EN COORDENADAS POLARES
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
r = c
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:
r^2 = 2sr cos( &-$) +S`2 = c^2
ECUACIÓN EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
x =a + c cost
y = b + csent
EL ÁREA DEL CÍRCULO DELIMITADO POR LA CIRCUNFERENCIA ES:
A= π.r2
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: .
A=p.a/2
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:
A=p.a/2=L.r/2=(2.π.r).r/2=2.π.r2/2= π.r2
LA CIRCUNFERENCIA: Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
LA ETIMOLOGIA: La palabra circunferencia proviene del latín circumferentĭa que a su vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor. Durante mucho tiempo se utilizo el termino circulo tanto para la superficie como para la curva que de delimita. La circunferencia actualmente se define como el círculo que define la superficie y su curva como circunferencia. En términos coloquiales la circunferencia se asocia con los conceptos de ARO o ANILLO; y el circulo se asocia mas a DISCO o PLATO.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA: Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;
cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
LA CIRCUNFERENCIA Y UN PUNTO
Un punto en el plano puede ser:
Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
LA CIRCUNFERENCIA Y LA RECTA
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
DOS CIRCUNFERENCIAS, EN FUNCIÓN DE SUS POCISONES RELATIVAS, SE DENOMINAN:
Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)
Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 2)
Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)
Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)
Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 5)
Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.
UN ÁNGULO, RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA, PUEDEN SER:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia
LA LONGITUD L DE UNA CIRCUNFERENCIA ES:
L= π.2r
Donde (r) es la longitud del radio.
Pues π (número pi), por definición, es el cociente entre la longitudde la circunferencia y eldiámetro:
π=L/2r
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
x^2 + Y^2 = r^2
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia geométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Es de la forma: P = Fo + r (cos φ,sen φ)
Con P = (x , y) cualquier punto sobre la circunferencia, Fo es el centro, r es el radio constante y φ es el parámetro variable: cualquier ángulo entre 0 y 360° inclusive sobre el que se define el punto en la circunferencia.
ECUACIÓN EN COORDENADAS POLARES
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
r = c
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:
r^2 = 2sr cos( &-$) +S`2 = c^2
ECUACIÓN EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
x =a + c cost
y = b + csent
EL ÁREA DEL CÍRCULO DELIMITADO POR LA CIRCUNFERENCIA ES:
A= π.r2
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: .
A=p.a/2
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:
A=p.a/2=L.r/2=(2.π.r).r/2=2.π.r2/2= π.r2
ELIO R SANCHEZ C.I 15. 977. 599 ING.CIVIL NOCHE 002
ETIMOLOGIA
La palabra círculo proviene del latín circulus, que es el diminutivo de circus y significa "redondez". Según otros autores, "cerco". La palabra circunferencia proviene del latín circumferentĭa que a su vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor. Durante mucho tiempo se utilizo el termino circulo tanto para la superficie como para la curva que de delimita.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
1 centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
2 radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
3 diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;
4 cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
5 recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
6 recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
7 punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
8 arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
9 semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
LA CIRCUNFERENCIA Y UN PUNTO
Un punto en el plano puede ser:
Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.
Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.
Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.
LA CIRCUNFERENCIA Y LA RECTA
Una recta, respecto de una circunferencia, puede ser:
Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud del radio.
Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro.
Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a la recta es menor a la longitud del radio.
DOS CIRCUNFERENCIAS
Dos circunferencias, en función de sus pocisones relativas, se denominan:
Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.
Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.
Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.
Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.
ANGULOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
La longitud de una circunferencia es:
donde es la longitud del radio.
Pues (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
se deduce:
resultando:
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,
la ecuación de la circunferencia es:
ECUACION VECTORIAL DE LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: .Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
ECUACION EN COORDENADAS POLARES
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:
Ecuación en coordenadas paramétricas
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
y con funciones racionales como
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre el apotema y el perímetro del polígono, es decir: .
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto: